【正文】 

浅谈数学教学中逆向思维的训练

安徽省太和县阮桥中心学校 李兴超

安徽省太和县三塔中心学校 李 戬

  【摘 要】 逆向思维的训练以基础知识的教学和基本技能的训练为载体，贯穿于整个教学过程中，注重解决“是什么？”、“为什么？”、“怎么办？”、“否则，会怎样？”等一系列问题，并从不同角度引导学生去思考，训练逆向思维。

　　【关键词】 逆向思维；训练

　　逆向思维是指扩大原有的思维空间，把思考活动从狭窄的过道里引向广阔的天地，是创造性思维的一种。善于逆向思维是思维灵活的一种表现。正确引导学生的思想在广阔的思维空间里驰骋，摆脱正向思维的禁锢，养成存疑、质疑的习惯，使学生对数学乃至万事万物有了更深刻的认识，从而提升学生的创造性思维能力及分析问题和解决问题的能力。本文仅从思维规律的表达规则方面，就如何加强逆向思维的训练，略谈几点肤浅的看法。

　　一、注重基础知识的逆向教学  

　　数学中的基础知识主要指定义、公理、定理、公式、法则等，掌握基础知识是指学生把学过的知识形成自身的认知结构，是培养基本技能的基础。因此，要充分重视基础知识的教学。

　　1、注重定义教学中的逆向思维训练

　　数学中的定义，其逆命题总是成立的，当学习一个新定义时，注意加强逆向思维训练，可使学生对定义能辨析清楚、理解透彻，更能培养学生全面分析问题的良好习惯。

　　例如：平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。反之，平行四边形的两组对边分别平行。这乃是平行四边形的性质。对此，可设计如下问题：

　　（1）平行四边形的对边有何关系？

　　（2）不这样定义可以吗？

　　（3）两组对边没有这种关系又会怎么样？

　　再如：方程解的定义，它包含了两个相反方向的特征：“凡满足方程的数，必是方程的解”及“某个数是方程的解，必满足该方程”。可通过下列练习，让学生从正反两个方面去认识方程解的特征：

　　（1）x=2是方程2x-4=0的解吗？

　　（2）检验x=2是否是方程2x+4=0的解？

　　（3）若x=2是方程ax-1=0的解，求a的值。

　　2、注重定理教学中的逆向思维训练

　　在定理的教学中，我们不仅要从正向讲清楚定理的确切含义，而且也应加强逆向思维训练，引导学生思考所学定理的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假，然后进行应用。这样，不仅可以巩固、完备所学知识，而且还能激发学生对新知识的探究欲望。

　　例如在学习“对顶角相等”这一定理时，可设计如下问题进行讨论：

　　（1）相等的角是对顶角吗？

　　（2）不相等的角不是对顶角吗？

　　（3）不是对顶角不相等吗？

　　这样，就扩大了学生的思维空间，对“对顶角”这一概念有了更深刻的理解。

　　3、加强互为关系的教学

　　数学知识中有许多“互为”概念，如“互为相反数”、“互为倒数”、“互为余角”、“互为补角”等，这些互为概念的教学，是培养学生逆向思维的好机会。首先，要让学生弄清“互为”概念的两个方面，使学生知道“互为”关系的两个实体是互相依赖、互为存在的；然后，再引导学生对这些概念向纵深探究。

　　例如在学习“相反数”时，针对教材提出的“象+6和-6这两个数，只有符号不同，一正一负，我们说+6的相反数是-6。”可以提出如下问题让学生思考：

　　（1）-6的相反数是什么数？它们之间有什么关系？

　　（2）0.5是什么数的相反数？什么数的相反数是0.5？

　　（3）8和什么数是相反数？

　　学生经过如此正反两方面的思考，对“相反数”的概念有了进一步的理解，逆向思维也得到了训练。

　　二、强化基本技能的逆向训练

　　教师对学生进行基本技能的逆向训练，主要依托对例题、习题的分析和解答来实现的。因此，要训练学生的逆向思维，必须加强解题方法的训练。

　　1、加强分析法的训练

　　分析法是对欲证明的命题进行“执果索因”的探究方法。它可以使学生有清晰的思路，能从纷繁复杂的条件、图形中理出头绪。顺着河流走，可以发现大海；逆着河流走，可以发现源头。我们就应该鼓励学生从相反的条件、相反的事物、相反的过程去思考，让学生进行分析、比较和归纳，寻找问题的根源，从而找到解决问题的最佳方案。

　　例如：小华从盒里把小球取出一半后，再放回去一个，以后每次都取出一半后再放回一个，到第20次取出一半后，盒里恰好还剩下一个小球，问小华盒里原来有多少个小球？

　　此题若从第1次考虑，则十分麻烦；若从第20次考虑，则很容易知道第20次前盒里有2个小球，不难得到第19次前盒里还是有2个小球，依次类推，可知小华盒里原来有2个小球。

　　分析法是我国数学解题的传统的成功的方法，对于综合能力水平不高的学生来说，更有不可替代的作用。

　　2、加强反证法的训练

　　有些数学命题往往不易或不能对原命题进行直接证明。只好从待证命题结论的反面入手，否定结论，假设其反面成立，经过得出与已知、定义、公理、定理等相矛盾的结论，从而得出原结论的反面不成立，最终肯定原结论成立。这种证明命题的方法即为反证法。此法，是数学工作者最精良的武器之一。在解题教学中，一经采用，将会别开生面，收到意想不到的效果。因此，当学生具有一定的基础时，适当进行反证法的教学，不仅能提高解题的灵活性，而且还可以使零散的知识系统的整合起来。

　　例如：求证多边行的内角中锐角不能超过3个。

　　可假设其内角中至少有4个锐角。这时，与这4个锐角相邻的外角都是钝角，则这4个外角的和已经大于360°了，这与“多边形的外角和等于360°”相矛盾。从而否定假设，即多边形内角中锐角多于3个不成立。最后肯定原结论成立，即锐角不能超过3个。

　　经过这种训练，学生获得了对一些特殊命题的特殊证法，学生分析问题、解决问题的能力得到了培养。

　　3、加强正逆运算的训练

　　数学中的许多公式、法则和定律都有可逆性，顺逆交替出现，互相转化。加强逆用公式、法则的训练，不但可以改变学生单向思维的习惯，还可以加深对公式、法则的理解和掌握，培养学生应用知识的能力。

　　例如：计算0.1256×86，可以引导学生逆用公式（ab）n=anbn.即0.1256×86=（0.125×8）6=16=1。这比正向计算显得简洁，而且减少了计算所带来的错误。

　　4、加强逆向反问的训练

　　在教学中，充分挖掘教材中的互逆因素，进行逆向反问，既可复习、归纳已学知识，又可增强逆向思维意识，使逆向思维得到训练。

　　如学过“同类根式”后，可提出如下反问：

　　（1）满足什么条件的根式是同类根式？

　　（2）如果最简根式■与■是同类根式，那么m、n、P应满足什么条件？

　　还可以有意识地编排顺逆配对的练习题，供学生训练使用。如

　　（1）2的绝对值是    ，    的绝对值是2；

　　（2）2的平方是    ，    的平方是4.

　　5、加强操作技能的训练

　　在讲尺规作图时，可以进行逆向思维训练，开拓学生思考空间，提出如下问题：

　　（1）不用尺规可以吗？

　　（2）不用直尺只用圆规可以吗？

　　（3）不用圆规只用直尺可以吗？

　　只有这样才能抓住动手操作的良机，打开学生思考的境界，发展学生的智能。

　　总之，逆向思维的训练，是以基础知识的教学和基本技能的训练为载体，贯穿于整个教学中，注重解决“是什么？”、“为什么？”、“怎么办？”、“否则，会怎样？”等一系列问题，并从不同角度引导学生去思考问题，让学生真正拥有逆常规思路，逆常人想法。