巧用数学方法 妙解化学问题

贵州省大方县第三中学 龙 应

  【摘 要】 应用数学知识从定量的角度探索规律，寻求方法，解决化学反应规律和化学问题，既能充分体现化学与数学的综合，又能培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
　　【关键词】 不等式；函数；极值法；分析推理法

　　教育部考试中心在2015年理科综合《考试大纲》中对化学学科思维能力和能力品质方面提出了“将化学题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识），解决化学问题的能力”的要求。
　　一、不等式讨论法的应用
　　不等式讨论法关键是寻求足够的根据，建立不等式，紧扣题意，全面分析，挖掘隐含，去伪存真。
　　例1．常温常压下，某气态烃与足量的氧气的混合气体VL，完全燃烧后，恢复到原状态，体积变为V/2L。试求混合气体可能的组成与体积比。
　　解析：根据化学方程式中气体体积的差量关系确定反应物的体积
　　C x H y +(x+y/4)O 2------x CO2 +y/2 H2O (l)  △V(减少)
　　    1         x+y/4                        x                        1＋y/4
v/2/(1 +y/4 )   v(x+y/4)/2(1+y/4)
　　建立不等式：  v/2/(1 +y/4 ) ＋ v(x+y/4)/2(1+y/4) ≤ v (氧气足量)
　　整理，得  ：   x ≤1 +y/4  （x为不大于4的正整数）
　　讨论：当x=1时，y≥0, CH4可能；
　　当x=2时，y≥4 , C2H4、C2H6可能；
　　当x=3时，y≥8, C3H8可能；
　　当x=4时，y≥12, 不存在这样的烃
　　各组分的体积比，V(CH4) : V(O2) = 1: 3 ; V(C2H4) : V(O2) = 1: 3 ; V(C2H6) : V(O2) = 1: 4 ; V(C3H8) : V(O2) = 1: 5
　　例2．平均相对分子质量为30。4的CO、C2H4O2 的混合气体，点燃完全反应后，侧知反应混合气体中不再有CO、C2H4，试求原混合气体的体积分数范围（在同温同压下测定）。
　　解析：首先用“十字交叉法”求出CO、C2H4 混合组分与O2 的体积比为2：3
　　所以，原混合气体中氧气的体积分数为60%
　　其次，建立不等式求出CO、C2H4 的体积分数范围，
　　取原混合气体5L，则V(O2)=3 L, 设V(CO)=x L， V(C2H4)=(2—x) L,
　　x/2 ＋ 3（2－x） ≤ 3 ( O2 过量)   而 2－x >0   所以  1.2 L ≤  x  <  2 L
　　即，24% ≤ ω(CO) < 40% ，  0 <  ω(C2H4)  ≤  16%
　　二、极值法的应用
　　极端思想是指从事物的极端上来考虑问题的一种思维方法，而化学极值问题是极端思想的具体应用。
　　例3. 在体积固定的密闭容器中通入A，C，D各1 mol，B为x mol，发生反应：
　　A(g)  ＋ 4B(g) ＝ 2C(g) ＋ D(g) ；当x在一定范围内变化时，均可通过调节反应器的温度，使反应达到平衡时保持容器中气体总的物质的量为5mol.
　　(1) 若欲使起始反应维持正方向进行，求x的取值范围；
　　(2) 若欲使起始反应维持逆方向进行，求x的取值范围。
　　解析：(1) 平衡向正方向移动，对于消耗量最多的B物质来说
　　若B尚未反应，则 1＋X＋1＋1＝5     X＝2
　　若B 完全转化，则 （1－X/4）＋（1＋X/2）＋（1+X/4）=5   X=4
　　所以，  2 < X < 4
　　平衡向逆方向移动，对于消耗量最多的C 物质来说
　　若C尚未反应，则 1＋X＋1＋1＝5     X＝2
　　若C 完全转化，则 （1+0.5）＋（X+2）＋（1—0.5）=5   X=1
　　所以，  1 < X < 2
　　三、 分析推理法
　　有些计算题看似须经繁杂计算方法方能求解，取得事半功倍的效果。
　　例4．在一个6L的密闭容器中，放入3LX 气体和2L Y气体，在一定条件下发生下列反应：4X(g) ＋ 3Y(g) ＝ 2Q(g) ＋ nR(g) 达到平衡后，容器内温度不变，混合气体的压强比原来增加 5％ ，x的浓度减少1/3 ，则该方程式中的n 值是 （   ）
　　A  3     B  4     C   5      D   6
　　解析：该题不需要按常规法先列出三个浓度，因为根据阿佛加德罗定律德推论可知，同温同容下，气体压强增大一定是平衡混合气的总物质的量增加了，即：4＋3<2＋n    n>5     所以（ D）项正确
　　例5．将 KCl和 KBr 的混合物 13。4 g ，溶于水配制成 500 mL溶液，通入过量的氯气，反应后将溶液蒸干，得到固体 11。175 g ，则原来所配制的溶液中K + 、Cl— 、Br— 的物质的量浓度之比为 （    ）
　　A  1:2:3      B  3:2:1      C  1:3:2      D  2:3:1
　　解析：该题从表观上看，似乎用差量法求出 K + 、Cl— 、Br—  的具体物质的量浓度方能得出结果。若采用分析推论的方法，可以迅速找出答案。根据溶液中电荷守恒：
　　【K + 】＝【Cl—】 ＋【Br—】  所以，【K + 】>【Cl—】   【K + 】>【Br—】
　　参阅四个选项，只有（B）项正确。