【正文】

课改下中学数学的教学方法

 

——构造法在数学解题中应用

 

 

贵州省安顺市西秀区大西桥镇初级中学 田芳芳

 

  平时解数学题的过程其实就是将条件转化为结论的过程，但是当有条件直接转化成结论比较困难时，经常会采用构造数学模型的方法解决，这种方法在数学中称为构造法，构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维。其方法是：对某些用常规方法不易解决的问题，依据题设条件的特点，用已知条件中的元素去构造新的对应关系或新的数学模型，从而使复杂问题简单化。同时可以使代数，三角，几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
　　一、构造图像
　　一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。
　　已知：a≥c，b≥c，c>0,
　　求证：不等式■+■≤■成立。

 

 

 

　　分析：观察要证明的不等式，直接证明会比较繁琐，有条件可知c，a-c，b-c都是非负数，
　　1°当a=c或a=b，c>0时，不等式显然成立。
　　2°当a>c,b>c,c>0时，可以构造以■，■，■，■，■为边的长方形或三角形，从而利用面积公式得到它们之间的不等关系，构造图形如上：
　　四边形ABCD是矩形，设AE和DE所成的角为α（0<α≤90°），
　　BE=■，AB=■，EC=■，CD=■
　　由勾股定理得AE=■，DE=■，
　　则S长方形ABCD=■（■+■）
　　=■+■
　　S△ADE=■■sinα
　　由图形得S长方形ABCD=2S△ADE
　　即■+■=2×■■■sinα
　　又0<α≤90°
　　∴0<sinα≤1
　　∴■+■≤■
　　所以命题得证。
　　二、构造函数
　　某些数学问题时，可根据问题的条件，通过构造辅助函数，把研究的数学问题转化成研究辅助函数的性质，利用辅助函数的单调性，最值等性质来求解。
　　如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．

 

 

　　（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
　　（2）若减掉的正方形的边长为正整数，折合而成的长方体盒子的底面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；?
　　分析：
　　设减掉的四个正方形的边长为x厘米，则
　　（1）（10-2x）（8-2x）=48
　　整理并化简得：x2-9x+8=0
　　解得：x1=8，x2=1
　　∵8-2x>0
　　∴0<x<4
　　所以x=1
　　即，当x=1时，长方体盒子的底面积为48cm2
　　（2） 要求面积是否有最大值，要考虑函数的最值问题，因此要构造一个适合该题的函数解题。
　　设长方体的侧面积为S，则
　　S=（10-2x）（8-2x）
　　整理得：S=4x2-36x+80
　　配方得：S=4（x-■）2-1
　　又0<x<4,且X为整数，所以，当x=1时，S有最大值，最大值是48。
　　即长方体的底面积没有更大的情况。
　　数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。构造法的类型很多，从以上两个例子可以看出，构造法解决数学题是创造性思维活动，利用构造法解决数学题不仅可以培养学生分析问题，解决问题的能力，同时可以培养学生的想象力，更重要的是培养学生的创造性思维，构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有重要的作用，即可以让学生感受到数学知识之间的联系，又可以感受到解题之乐。