【正文】

智慧生长：数学教学的倾心追求

 

——由“圆柱的侧面积”教学引发的思考与感悟

 

江苏省苏州工业园区星湾学校 朱 静

 

  缘起
　　“圆柱的侧面积”是人教版小学数学第十二册的教学内容。常见的教学范式是：在学生认识了圆柱侧面的基础上，教师呈现一个计算圆柱侧面积的实际问题，直接提出“能不能剪开变成已学过的平面图形呢？”进而引导学生通过观察、比较剪开前后图形间的相互联系，构建出数学模型——圆柱的侧面积＝底面周长×高。
　　通过换位思考可以发现：学生解决问题的“瓶颈”并不在于能否剪开变成已学过的平面图形，也不在于能否比较沟通图形间的相互联系，而在于头脑中是否具有“曲面与平面可以相互转化”的思想观念。由此看来，上述教学范式显然是对学生真实学情的一种误读，而且也正是这种误读使学生虽然奉令而剪，却不清楚自己为什么要剪，完全沦为教师思想的“奴隶”。
　　在实际教学中，怎样才能有效地帮助学生形成和建立“曲面与平面相互转化”的辨证观点，使操作实践真正成为学生自主、自觉的行为，使学习过程具有“挈领而顿，百皱皆顺”的逻辑力量呢？
　　案例
　　1.联想生活，启迪观念
　　师：我们已经认识了圆柱，掌握了圆柱的基本特征。现在你们能用一张长方形纸“做”出一个圆柱形吗？试试看！
　　学生拿出事先准备的长方形纸，不停地摆弄着，轻声地议论着。
　　生1（举着做出的圆柱形）：我把长方形纸的两条宽边相接，就围出了一个圆柱形。
　　生2（急不可待地）：还有一种方法，把长方形纸的两条长边相接，也可以围出一个圆柱形。（教室里响起一片赞同声）
　　师：请你们用这两种方法都来做一做，注意观察长方形纸的形态有没有发生变化？
　　生1：原来是长方形，后来变成了圆柱形。
　　生2：这张纸原来是一个平面，后来变成了一个曲面。
　　师：你们观察得非常仔细！（配合手势）原来长方形纸是一个——（平面），后来变成了一个——（曲面）。
　　师：在日常生活中，你们有没有发现“平面变成曲面”的现象？
　　生1：教室前面的投影屏幕现在是一个平面，收起来后就成了一个曲面。
　　生2：夏天凉席铺在床上是一个平面，天冷了，卷起来后就成了一个曲面。
　　生3：商店里卖的皮带是一个平面，系在身上就变成了一个曲面。
　　师（疑惑地）：你指的是商店里挂着卖的皮带吧？  （生3点点头）
　　生4：商店的卷帘门，开门时平面变成了曲面，关门时曲面就变成了平面。
　　教室里短暂宁静后，响起一阵窃窃的附和声。受此启发，举起的小手更多了。
　　生5（岔嘴）：卷尺用的时候，曲面就变成了平面；收起来时，平面就变成曲面了……
　　师：你们真是生活中的“有心人”！从这些现象中，你们发现了什么？
　　生：我发现平面可以变成曲面，曲面也可以变成平面。
　　师：是呀！就是说“曲面与平面可以相互转化”。
　　2.自主探索，建构模型
　　师：（出示课前师生准备的椰子汁罐）椰子汁罐是一个圆柱形，它的侧面贴满商标包装纸，商标包装纸的大小与罐的侧面积——（相等），那么你们能想办法计算出商标包装纸的面积吗？先独立思考，再在学习小组内进行交流，请各组长做好组际交流准备。
　　学生在问题趋动下，先静静地思考，再与伙伴相互交流，有的拿着剪刀在剪包装纸，有的在用小刀破包装纸，有的在用尺测量着，还有的在本子上计算着……
　　学习小组1：圆柱的侧面是一个曲面，我们把它转化成平面图形去解决。我们沿着圆柱的高把它剪开，展开后就成了一个长方形，量得它的长是17厘米，宽是12.5厘米，它的面积是212.5平方厘米。我们还发现展开后的长方形的长相当于圆柱形的底面周长,宽相当于圆柱形的高,这样圆柱的侧面积可以直接用圆柱的底面周长乘高。
　　学习小组2：我们也是把它转化成平面图形解决的。和他们不同的是，我们把侧面包装纸斜着剪开，展开后近似一个平行四边形，再量得它的底是17厘米，高是12.5厘米，它的面积是212.5平方厘米。这个平行四边形的底等于圆柱形的底面周长,高等于圆柱形的高,同样可以得出圆柱的侧面积 = 底面周长×高。
　　待组际间充分交流后，教师对学生的活动表现给予赞赏性评价，随后用多媒体分别演示相应的操作过程，验证并强化展开后的平面图形与圆柱形之间的相互联系，突出数学模型——圆柱的侧面积 ＝底面周长×高。
　　这时，教师发现有位学生的手似举非举，似有话说，于是请他发言。
　　生（怯生生地）：不用剪开……。
　　语惊四座，学生中有一点唏嘘声。教师鼓励他继续说下去。
　　生：如果直接把椰子汁罐压扁，它的侧面包装纸就成了两层同样大小的长方形纸，不也转化成平面图形了吗？
　　教室里霎时安静下来，唏嘘声消失了，随后响起啧啧的赞许声。
　　生（有些兴奋地）：每层长方形的长等于圆柱底面周长的一半，宽等于圆柱形的高，这样也可以得出圆柱的侧面积等于圆柱底面周长乘高。
　　教师显然也兴奋起来了，由于对此未事先准备，就信手拿起一张纸模拟操作演示，让学生明了压扁后的图形与圆柱之间的相互联系，进而引导学生据此建构数学模型：圆柱的侧面积 = 底面周长÷2×高×2 = 底面周长×高÷2×2 = 底面周长×高。
　　师笑着追问：你（指刚才那位学生）是怎么想到这一巧妙办法的？为什么不在组内跟你的伙伴说？
　　生（有些难为情地）：我是从平时喝完“可乐”后习惯把它踩扁中想到的，我怕说出来他们会笑话我。
　　原来如此！其他同学都会心地笑了，他自己也舒心地笑了。
　　思考
　　教育学认为，智育是教育者创设一定的情境以提升教育对象的智慧水平为目标的教育。数学教育从属于智育范畴，理应将促进学生智慧发展作为基本的价值追求。诉求智慧的数学教学应以智慧统率知识教学，引导学生主动参与知识的生产过程，在不断的思维运动中实现知识向智慧的转化，促进学生智慧的持续生成与发展。
　　一、已有的知识经验是学生智慧生长之源
　　建构主义认为：知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构。事实上，学生已有的知识和经验不仅是建构新知的必要基础，而且也是炼就智慧的重要“材料”。在上述案例中，教师首先让学生用一张长方形纸“做”出圆柱形，引导学生观察这张纸的形态变化，由此揭示出一个客观事实：平面变成了曲面。进而以此为楔子，提出“生活中有没有平面变成曲面的现象？”直接将考察“视域”拓展到学生的生活世界中，激活起学生丰富的生活经验，不仅再现出许多“平面变成了曲面”的具体情景，而且自发“逆转”，举证出“曲面变成了平面”的生活实例，由此建构起曲面与平面可逆性的认识，感悟出“曲面与平面可以相互转化”的思想。
　　从“素朴”的生活现象到深刻的思想观念，学生从生活世界的“灌木丛”中超脱出来，以理性的目光透过自然的、直观的生活现象，获得对一些事物变化本质性的初步认识。生活的“感觉丰满性”消失了，而代之以理性“冰冷的美丽”，这种理性沉积物无疑是一种智慧。就教学活动而言，它为后续解决圆柱侧面积问题奠定了丰实的思想基础。
　　通过学生思想观念形成过程的深入分析，加之问题解决中那位学生创新灵感产生根源的揭示，凸显出学生已有的知识和经验，包括在日常生活实践中所获得的丰富经验，乃至学生“当下即是”的生活世界对于学生智慧生长的意义与价值，它们是学生智慧生长不可或缺的重要基础。
　　二、开放的问题空间是学生智慧生长之炉
　　智慧生长需要营造一个“智慧之炉”，它是具有智慧挑战性的问题情境和开放的教学观念的结合体。它有利于激发学生的探究欲望，激荡学生的活跃思维，激生学生的创新灵感，而智慧生成也正寓于其中。一个没有高含量思维参与的问题解决活动，是不可能生成智慧的。
　　在上述案例中，教师呈现的是与常见教学范式相同的问题情境，对学生而言具有智慧挑战性。但由于有先前的思想孕伏，再融入教师让学生直面问题探索的胆识，从而使问题解决活动成为学生的一次“智慧之旅”。学生根据问题的实际情况，自主确定了解决问题的正确方向——把圆柱形的侧面（曲面）转化成学过的平面图形；沿着正确的方向，主动探索解决问题的具体方法：或沿着圆柱的高剪开成一个长方形，或将圆柱侧面剪开成一个平行四边形，更富于创意的是，有位学生基于其曾经喝完“可乐”后踩扁的“恶作剧”经历，提出的“不用剪开，将圆柱的侧面压扁成两层长方形”的方法。尽管同样是“曲面转化成平面”这一思想的具体外化，但事实上实现了对“剪”的方法的直接超越，同时构成了对常见教学范式的有力诘问：解决问题的关键在于化曲面为平面，是否只有“剪”这一手段才能实现？束缚在教师指令性“剪”的框架内，学生又怎能产生“直接压扁成两层长方形”的念头？
　　由此可见，“智慧之炉”既需要具有智慧挑战性的问题为前提，又需要教师开放的教学观念作保障，两者有机结合，才能催生出学生的智慧之“丹”。
　　三、数学思想的悟行是学生智慧生长之“道”
　　数学思想是数学的精髓和灵魂。 日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生学到的数学知识在进入社会后，几乎没有什么机会应用……，然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地钻刻于头脑中的数学精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地发挥作用，使他们终生受益。”
　　就数学学习而言，学生的智慧集中体现在对数学思想的深刻领悟和自觉实践上。可以说，学生智慧生长的过程就是不断领悟与实践数学思想方法的过程（即“悟行”过程）。数学思想方法蕴涵在知识生产过程之中，对学生的“再创造”活动具有指导与促进作用。“知识能够诱发智慧，是打开智慧之门的钥匙，但不等于就是智慧”。
　　南京大学郑毓信教授在《数学方法论》序言中指出：数学教学“通过以思想方法的分析来带动具体数学知识内容的教学，我们即可真正地做到把数学课‘讲活’、‘讲懂’、‘讲深’”。本案例所蕴涵的数学思想是“转化”思想，具体为“曲面与平面相互转化”。教学中教师紧紧抓住这根弦，先引导学生通过对生活现象的考察感悟出这一思想，再让学生在问题解决中自觉实践这一思想，从而将数学思想贯通于教学活动的全过程。
　　学生智慧的发展不能指望在思想方法的一次悟行中“毕其功于一役”，只有让学生在不断地“悟中行”、“行中悟”、“悟行合一”中，学生的智慧才能获得持续地生成与发展。