抛物线的定义新尝试

——刍议归纳推理在数学教学中的作用

新疆实验中学 周文建

  【摘 要】 随着新课改的不断推进，对高中数学课堂提出了更高的要求。推理能力的培养一直是数学教育最重要的任务之一，数学教学中如何开展归纳推理？这是我们一线数学老师所要重视并探究有效教学方法之一。
　　【关键词】 高中数学；抛物线；归纳推理；有效引导；提高效益 

　　在数学教学中，归纳推理有着其他推理无可比拟的优势，能起到神奇的功效。要重视归纳推理在教学中的应用！这一想法在我重新面对抛物线的定义教学时逐渐清晰起来。
　　一、巧用归纳推理，化模糊为清晰
　　圆锥曲线定义的教学过程中，我们大多应用类比推理。从已学圆的定义：平面内到一定点的距离等于一定值的点的轨迹是圆。联想：平面内到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹是什么？叫学生用一根绳子亲自动手进行试验之后用几何画板进行动态演示，学生直观得知该轨迹是椭圆。再联想：平面内到两定点的距离之差等于定值的点的轨迹是什么？用拉链进行演示之后用几何画板进行动态演示，学生直观得知该轨迹是双曲线。这三类曲线的类比点明显，图像特征明确，故而学生接受起来没有异议。常规的抛物线定义教学也用类比推理，但是显得有点勉强、突兀。首先抛物线定义域前两个曲线的相似点不够突出，其次抛物线的图像是单支曲线。从前几届的学生反馈的信息发现：学生总有疑问满足到一定点F的距离等于到一定直线()的距离的点的轨迹就是抛物线？甚至有的同学称之为单曲线。又已知二次函数的图像是抛物线，此抛物线是否就是彼抛物线？所以抛物线定义及标准方程教完之后，还得花时间证明二次函数图像上的点也满足到一定点F的距离等于到一定直线的距离。对此，我就抛物线定义的教学设计做了调整，进行了新尝试。在学生已建立的认知“二次函数的图像是抛物线”的基础上去挖掘出更深层次的规律性的结论，再提炼成抛物线的定义。
　　我对抛物线的定义的教学设计如下：
　　探究：已知二次函数，y=■x2上的点A(0,0),B(1,■),C(-2P,2P)及抛物线外一点F(0,■)
　　（1）请同学们分别计算A、B、C到点F(0,■)距离AF、BF、CF；
  （2）请同学们分别计算A、B、C到直线y=-■的距离d1、d2、d3。
　　（3）请同学们观察分析上述两题结果，类比椭圆、双曲线的定义试着给抛物线一个定义。
　　学生可以迅速从中得到新知：到一定点F的距离等于到一定直线()的距离的点的轨迹就是抛物线。由具体到抽象，有由特殊到一般，学生对抛物线的定义也就从模糊到清晰。
　　在我尝试用归纳推理讲解抛物线的定义之后，几位数学教师就这一设计进行了讨论。对此设计各有不同的见解，仁者见仁智者见智。有的说考虑知识的延续性，还是原有的教法各自然，反正定义的东西怎么说就怎么是，开门见山，直奔主题，让学生记下就是；也有人赞同我的新思路，认为不妨一试。本人的认为这一课的教学让我教学思路豁然开朗，有柳暗花明又一村的感觉。以往的教法只是让学生被动的吸收，缺乏学生自主发现探究的过程，忽视对一个新知识新结论获得途经的认识。故而学生只知道照本宣科，却不知如何进行探究与发现。应用归纳推理进行概念教学，给学生一个很好的导向:对一个新的问题、对一个模糊的概念可以尝试用归纳推理理出条理及思路。如果说抛物线的定义应用归纳推理能使得模糊的概念清晰化还有教师不赞同的话，那么微积分基本定理应用归纳推理达到的效果则是相当的明显，这一点毋庸置疑。
　　二、妙用归纳推理，化深奥为浅显
　　从浅显的实际情境出发归纳出深奥的数学理论，达到化深奥为浅显、化难为易的目的，有助于学生对知识的理解与记忆，达到事半功倍的效果。
　　如微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：
  

　　揭示导数与定积分之间的内在联系，提供计算微积分的捷径，是微积分乃至整个高等数学的重要定理，能正确理解并掌握该定理对学生计算定积分提供工具，并为学生进一步学习高等数学奠定坚实的基础。但是该定理的探究及证明对高中一般校的大部分学生而言很是深奥，不好理解。为此，我设计了这样的教学思路。
　　设质点M的运动速度v(t)=3t2-4t+1，时间为t，位移s(t)。求质点M在t∈[a,b]的位移sa→b。
　　分析：从定积分定义的角度可知：

       但是利用定积分定义不易求得其值。

















　　三、思用归纳推理，化抽象为具体
　　众所周知，三角函数的公式多，变化多。在我们看来很简单的公式及结论对一般校的大部分学生而言像一团乱麻，缠来绕去总是理不清。如诱导公式的推导及记忆。我们的教学设计大多是从三角函数的定义:角则，结合与，推导出诱导公式，然后总结口诀:奇变偶不变，符号看象限；记时记锐角，用时任意角。在教师角度来看诱导公式规律明显，数形结合直观易懂，不应该有大问题的。实际不然。教完以后我特意去了解学生掌握的情况。有百分之六十的同学说公式很多，很乱，记不清楚。
　　我的教学设计意图充分发挥学生的主体作用，让学生主动去探究发现，经历公式的发现及推导过程，加深学生对公式的印象，同时也让学生明白诱导公式的作用。通过学生对特殊值的三角函数的计算，不仅可以让学生复习特殊角的三角值，而且可以让学生在计算过程中发现规律。最后进行严谨的推导证明旨在说明归纳推理结论可能是错误的，只有证明之后才是正确的。这不仅把抽象的诱导公式的推导问题具体化，同时也让学生建立起对新的知识新的结论新的问题的研究及解决方案：可以用特殊进行探路，再用归纳推理进行概括，最后进行推理证明。这也跟我们科学探究过程中常用的手法相一致。
　　大自然奥秘的探索，科学发现的探究，案件真相的侦破，病例原因的分析等等都离不得归纳推理，同样教学中也离不开归纳推理。用好归纳推理，不仅让学生学好一节课，而且一生受益，使得数学实现其可持续发展的目标。
　　参考文献：
　　[1]吕青鸿.归纳推理在高中数学解题中的妙用[J].数学教学通讯，2015（10）.
　　[2]方梅.演绎推理和归纳推理在高中数学教学中的运用[J].江西教育，2016（06）.