【正文】

函数对称性的探究

 

新疆巴州第一中学 杜 浪

 

  函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
　　一、函数自身的对称性探究
　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
　　f (x) + f (2a－x) = 2b
　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点Q（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点Q关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
　　定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) 
　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于x=a的对称点Q（2a－x，y）也在y = f (x)图像上，∴ y = f (2a－x),即f (x) = f (2a－x) ，必要性得证。
　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
　　∵ f (x) =f (2a－x) ∴f (x0) = f (2a－x0) ，即y0 = f (2a－x0) 。 故点P‘（2a－x0，y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点‘关于对称，充分性得征。
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
　　定理3中的①②证明留给读者以下给出③的证明：
　　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
　　二、不同函数对称性的探究
　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
　　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
　　②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
　　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
　　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0= f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
　　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
　　三、函数对称性应用举例
　　1、已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x)，若函数y=■与y=f(x)图像的交点为(x1,y2)，(x2,y2),……,(xm,ym),则■(xi+yi)（    ）
　　A.0         B.m             C.2m       D.4m
　　答案：B
　　2、已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图像的交点为(x1,y2)，(x2,y2),……,(xm,ym)，则■xi（    ）
　　A. 0           B. m            C.2m       D.4m
　　答案：B