动中分析 静中求解

——以一道中考题谈动点问题解题四步曲

四川省平昌县佛楼小学 马发明

  【摘 要】 动点问题通常会将一个大主题细化成若干个小问题,由浅入深,层层递进,该题型有助于培养学生运用动态思维去分析问题、解决问题的能力。在解决动点问题时，首先必须把握好“动中有静”的解题思想，通过动中求静、确定问题中的不变关系,动静互化,把握运动中的特殊位置,以动制动,建立图形中变量的函数关系,进而探索出解决问题的方法。本文以一道中考数学压轴题为例，对动点问题的解题过程进行了详细的剖析，提出了“动中分析，静中求解”的教学观点和“找—定—画—列”的解题四步曲。
　　【关键词】 动中分析；静中求解；解题四步曲；中考数学

　　动点问题是近几年中考试卷压轴题中出现频率最高、综合性最强的一类高端题，占分比例大，得分率最低。动点问题最突出的特点是条件中的元素——点是运动的。这类题型涉及知识点多，将几何知识和代数知识紧密结合，依据多样化的几何图形，设计出动态化的几何情境。解决这类问题的关键是确定变化和不变的元素，通过分类、想象和画图等手段，正确建立已知和未知的关系，把握运动规律，抓住特殊的位置做到动中有静，再运用方程思想或函数思想解题。在这个复杂的解题过程中，充满着挑战，也充满着智慧，如何才能让学生顺利掌握解题的思路与技巧是每一个数学老师都应该思考的问题。通过摸索，我在教学中采用了“找—定—画—列”四步曲，具体方法如下：
　　找：找出自变量的最大取值范围。
　　在确定自变量的最大取值范围，应注意动点的运动方向及点的起始点和终止点。如果只有一个动点，那么终止点就是最大取值范围；如果有两个动点，则应根据停止情况确定取值大范围：①不同时停止运动，则取后停止运动的动点所需时间作为最大取值范围。②如果一个动点停止运动则另一个也停止运动，则取运动时间最短的作为自变量的最大取值范围。
　　定：确定动态过程中变化次数和分段取值范围。
　　单动点在运动过程中发生的变化次数由经过拐点的个数决定；双动点应考虑每个动点经过拐点时的情况。一般情况下动态过程中发生了几次变化就分几种情况讨论，也就需确定几种取值范围。
　　画：画出每一次变化过程中的静态图片。
　　在前一步的基础上，有几次变化过程就画几个静态图片，特殊情况下还需要画出拐点时的静态图片。
　　列：列出函数表达式。
　　弄清了运动变化次数、变化速度和取值范围后，就将动态问题转化成了静态问题，得到函数表达式也就顺理成章了。
　　下列仅以巴中市2014年中考数学第31题为例，来说明如何解决有关动点问题。
　　原题再现：（2014巴中31）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A（-2，0）和点B，与y轴交于点C，直线x=1是该抛物线的对称轴．
　　（1）求抛物线的解析式；（ 答案：y=■x2-x-4）
　　（2）若两动点M，H分别从点A，B以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到达原点时，点H立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，经过点M的直线l⊥x轴，交AC或BC于点P，设点M的运动时间为t秒（t＞0）．求点M的运动时间t与△APH的面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

　　解题分析：
　　1、找：找出自变量的最大取值范围。
　　点M达到抛物线对称轴即运动结束，点M到达抛物线的对称轴时需要3秒，所以最大范围取值为t≤3。
　　2、定：确定动态过程中变化次数和分段取值范围。
　　点M一直沿x轴前行，运动速度为1个单位/秒，而点H在点M到达原点时立即掉头移动，运动速度分别为1个单位/秒和个单位/秒。所以运动变化情况就有两次。⑴M点到达原点前，M、H两点相向而行，速度都为1个单位/秒，则第一个时间的取值范围为0＜t≤2；⑵M到达原点后，两点同向而行，M的速度为1个单位/秒，H的速度为个单位/秒，则第二个时间的取值范围为2＜t≤3。
　　3、画：画出静态图形。
　　画出简略的静态图形，更能利于学生分析题中的数量关系，从而建立等量关系。根据双动点M和H运动的两种情况，分别画出简化后的静态图形如下（二次函数图像省略）。

　　4、列：列出函数表达式
　　分两种情况：
　　①当0＜t≤2时，∵PM∥OC，∴△AMP∽△AOC，
　　∴■=■，即■=■，∴PM=2t．
　　解方程■x2-x-4=0，得x1=-2，x2=4，
　　∵A（-2，0），∴B（4，0），∴AB=4-（-2）=6．
　　∵AH=AB-BH=6-t，
　　∴S=■PM·AH=■×2t（6-t）=-t2+6t=-（t-3）2+9，
　　当t=2时S的最大值为8；
　　②当2＜t≤3时，过点P作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，则△COB∽△CFP，
　　又∵CO=OB，
　　∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AH=4+■（t-2）=■t+1，
　　∴S=■PM·AH=■（6-t）（■t+1）=-■t2+4t+3=-■（t-■）2+■，
　　当t=■时，S最大值为■．
　　综上所述，点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=-t2+6t(0＜t≤2)-■t2+4t+3(2＜t≤3)，S的最大值为■．
　　点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识，综合性较强，难度适中。运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键。
　　在教学中，动点问题涉及的知识点都是比较多的，探索出“找—定—画—列”的教学思路，意在授之以渔，再加以足够演练，就能从容解答“动点问题”。