全国高考新课标卷考点分析及备考策略

——《三角函数与平面向量》篇

陕西省柞水中学 周学洋 廖宗国

  三角函数与平面向量是高中数学教学的重点内容，在高考中有着佷重要的地位，从得分角度来分析，这两块知识向来是兵家必争之地，失去了此处的分数就失去了竞争的资本。此部分得分并不难，但从每年的高考评卷反馈情况来看，并不是特别的理想，其主要原因是知识点掌握不牢，书写不规范。下面，我就这块内容的高考考点及其备考策略做如下详细说明。
　　一、三角函数与平面向量近年试题特点  
　　近几年来，三角函数和平面向量试题具有以下几个特点：
　　1、突出基础知识，基本公式与基本技能的考查.既源于基础，又高于基础；稳中有变，
　　但变中又有“定”.
　　（1）三角函数内容最大的特点就是公式多，变换的形式多，如何确定变形方法和方向是解题的关键。要求学生对公式要能“正用，逆用，变用，巧用”。应用同角变换，诱导公式，两角和与差的三角函数公式求值，化简和等式的证明问题，是三角函数最常见的考点，此类考题比较简单，源于课本的三角函数公式的习题，但是又高于课本，有些问题带有隐蔽性，需要适当转化才能化归为课本习题.
　　例1：（2013年全国卷文科6题）若sin2α=■ ，则cos2(α+■)（     ）
　　A.■             B. ■            C. ■           D.■
　　对于三角函数求值问题,关键有“三看”：即（1）看角，关注角和角之间的关系，把角尽量向特殊角或可计算的角转化，注意拆角，拼角等技巧；例如：已知cos(α+■)=■，且α为锐角，求sinα的值。学生一般会把cos(α+■)展开，教师应引导学生作角度变换的技巧（α=(α+■)-■）并小结常见的角度变换方法（α=(α+β)-β,■=(α-■)-(■-β)等）。（2）看名称，把一道等式尽量化为同一名称或相近名称，例如把所有的“切”都转化为相应的“弦”或把所有的“弦”都转化为相应的“切”；（3）看式子结构，要能“正用，逆用，变用，巧用”三角公式，如何将条件角化为目标角，将目标角用条件角表示。
　　（2）三角函数图像与性质是三角函数的主体内容，是高考的重点和热点。内容上，主要考查三角函数的周期性，单调性，奇偶性，对称性，有界性，五点作图法及图形变换等；形式上，一般为选择题，填空题，也可能是解答题，大多为中低档题.
　　例2：（2011年全国卷理科第11题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜■)的最小正周期为π，且f(-x)=f(x),则（   ）
　　A.  f(x)在(0,■) 单调递减                 B.  f(x)在(■,■) 单调递减
　　C.  f(x)在(0,■) 单调递减                D.   f(x)在(■,■) 单调递减
　　例3：（2015年北京卷理科第15题）已知函数f(x)=■sin■·cos■-■sin2■
　　（Ⅰ）f(x)的最小正周期;
　　(Ⅱ)求 f(x)在区间[-π,0]上的最小值。
　　（3）高考对解三角形的考查通常分两个层面：知识层面要求“掌握正弦定理，余弦定
　　理，并能解决一些简单的三角形度量问题“，运用层面要求“能够正弦定理，余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题”。新课标对解三角形要求明显高于以往，总体思路时客观题直接考查正弦定理，余弦定理；解答题则与三角函数，向量等结合，通过边角互化和三角运算化简变形，最后获得问题的解。
　　例4：（2015全国卷Ⅱ）⊿ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC,BD=2DC.
　　(Ⅰ)求■
　　（Ⅱ）若∠BAC=600,求∠B.
　　（4）平面向量的概念及线性运算中的加法，减法运算的法则与几何意义以及向量共线
　　问题是考查热点，且容易出现情境新颖，设计巧妙的新题。平面向量的数量积是高考命题的热点，其考查内容主要有以下三个方面：一是数量积的运算，化简，证明等；二是向量平行，垂直，夹角等问题；三是数量积的综合运用.
　　例5：（2013年全国卷Ⅰ第13题）已知两个单位向量■,■的夹角为600 ,■ =t■+(1-t)■,若■* ■=0，则t=                 .
　　本题考查向量的数量积的运算公式，及模长公式，意在考查学生的运算能力.
　　例6：（2012年北京卷理科第13题）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则■·■的值为                ；■·■的最大值为                .
　　本题考查向量的线性运算，向量的数量积运算等基础知识，考查学生的坐标思想，数形结合思想，等价转换思想及运算能力。通过建立直角坐标系很容易得到■·■的值为1，■·■的最大值1.
　　由于向量具有代数和几何形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，也成为多项内容的媒介，解析几何等方面的应用，突出向量的工具作用。
　　例如2012年江西卷理科第20题已知三点O(0,0)，A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|■+■|=■·（■+■）+2.（1）求曲线的方程；（2）略.
　　这些问题充分体现了向量的工具作用，在平面位置关系中的平行，垂直，夹角及比例关系中都可以利用向量为载体。教学中，在复习“向量”单元时，应注重向量的工具作用，体现向量在平面位置关系中的规范表达，强调向量的几何意义.有时候用几何意义解题，会比用代数方法来的巧妙，可以避免大量繁琐的计算.
　　2、体现出高考命题灵活的原则。改变基础知识的编排顺序与配合方式，打破学生“记忆式”的解题思路，使题目以全新的面孔出现.
　　例7：（2012年江西卷理科第17题）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，
　　已知A=■，bsin(■+C)-csin(■+B)=a.
　　（1）求证：B-C=■；
　　（2）若A=■，求△ABC的面积.
　　3、反映“在知识交汇处命题”的理念.在知识交汇处命题也是新课标考纲明确提出的，主要考查学生如何将新的问题化归为自己熟悉的问题，渗透了化归思想。这种“交汇”现已突破模块的范围，备受命题者的青睐，这种考题形式更加灵活，内容更加新颖，解法更加灵活，要引起重视。所以我们应该以整个中学数学知识为背景，全方位地复习、巩固“双基”，不能有丝毫的侥幸心理.
　　例8：（2013年辽宁卷文科第17题）已知向量■=(■sinx,sinx)，■=(cosx,sinx),x∈[0,■]
　　（1）若|■|=|■|，求x的值；
　　（2）设函数f(x)=■·■，求函数y=f(x)的最大值.
　　4、重视数学思想的考查。数学思想，特别是函数方程、等价转化、分类讨论、数形结合等，是数学的灵魂，是解答数学题的最高准则，是我们解题行为的总的指导方针。 “数形结合”是非常重要的数学思想方法，该方法运用得当，可以非常巧妙地解出用常规方法很难解的题，在高考试卷中不管大题还是小题都不乏该思想方法的应用。
　　例9：（2013年湖南卷文科第8题）已知■，■是单位向量，■·■=0.若向量■满足|■-■-■|=1,则|■|的最大值为（    ）
　　A.■ -1          B. ■           C. ■+1        D.■+2
　　二、三角函数与平面向量考点分析（见下表）
　　表一：
























　　表二：





　　三、2016高考命题趋势及备考建议
　　数学高考专题复习课没有固定的模式，也没有固定的选题，但是有一点是可以肯定的，那就是专题复习绝不是也不应当是第一轮复习的简单重复.
　　1．回归教材，注重三角函数的概念教学。三角函数大题考查主要在前三题中，难度不
　　大，但单一型的题目将被更多的综合型题目所取代。特别是选择或填空题，每道题考查的知识点也可能是两个、三个或更多个；容易出现情境新颖，设计巧妙的新题.学生往往容易失分，在二轮复习时应注重各个单元知识“交汇点”的梳理，形成知识网络，便于在大脑中迅速、准确的提取。在复习过程中，可设计一些灵活多变的概念题，以选择或填空题的形式让学生反复练习，同时关注学生易错点，同步收集学生错题进行补偿练习.
　　2．建构知识网络，对章节知识进行全面梳理，明确各知识的之间的联系.例如：从三角函数的定义到诱导公式，从两角和与差的三角函数公式到二倍角公式，利用向量证明正、余弦定理等，同时关注高考热点，分析近三年高考真题，提出命题趋势的把握，对有关题型进行归类整理。以提高学生的训练效率.
　　3．控制难度，注重教学的层次性.高考命题是以《考试说明》为依据的，高三数学复习要以《考试说明》为指导，注意各知识点的难度控制，要弄清《考试说明》中各项要求的具体落脚点，把握试题改革的新趋势.不要随便扩充和加深。例如三角函数的图像和性质复习，可以通过由简单到复杂变式教学：“正弦函数，余弦函数和正切函数的图像和性质”到“y=Af(ωx+φ)型的函数的图像和性质”到“一般三角函数式的图像和性质”，总结解决三角函数图像和性质一般思路和做法，由易到难、循序渐进，并在此基础上提炼转化与化归，数形结合等思想方法。同时，习题课应特别注意例题选择的综合性，习题教学的层次性，注重变式教学，让学生逐步掌握三角函数的基本知识技能，体会基本数学思想方法.
　　4．规范解题，突出关键步骤。高考阅卷中，学生经常因解题不规范导致“该得分而没有得分”。对数学解答而言，解答过程的叙述要符合逻辑要求，不仅因果顺序不能颠倒，而且要步步有据，跨步要合理，主要步骤（评卷中的得分点）都要明确无误的表达出来.这就要求教师规范地做好示范作用。时间再紧张，也要对学生把得分步骤交代清楚.
　　5．注意三角函数与其他知识的综合.三角函数和平面向量结合，和导数不等式结合等依然是高考命题的热点，教学上要重视三角函数的工具性作用，让一些有能力的学生进行知识应用的拓展，有意识的注重知识板块的交叉运用，达到板块间的融会贯通.
　　6．关注教学主体学生对基本知识及基本技能的落实，注重学生自主学习.要求学生对自己的错误进行归纳小结，找出错误的类型和原因，对易错问题要经常练习，对易混淆问题要对比练习，对重点问题要反复练习，对练习后仍没有达到要求的学生要组织相关的训练进行补救，直至完全过关。为了提高辅导的针对性，要坚持采取个别辅导的方式，对一些成绩较差的学生的作业和练习要坚持面批.同时建立“学生练习情况记录表”，将练习、作业、演板、考试中显露出来的问题记录下来，及时掌握学生知识的缺陷和薄弱环节，做好解题后的反思工作，使学生练一次、考一次就能提高一次.
　　认真研究高考题能给我们许多启示：坚持“最基础的知识才是最有用的知识”的原则，
　　狠抓基础知识和基本思想方法的教学；重视过程教学，注意知识的发生发展过程，充分挖掘课本中每一个概念的内涵及与他相关联的知识之间的联系，形成知识网络；从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，拓宽题材，多样化，宽角度，多视点地培养不断培养学生用数学知识解决现实问题的能力，体现数学的科学价值和人文价值.学生的数学素养；让学生体验生活背景，丰富数学视野，