——记一次教研活动的启示

  一、背景分析
　　为了推选出县级优质课候选人，县第五中学轰轰烈烈地举行了优质课的选拔赛。我认真地听了每一节课，大多数老师都能积极准备，由于他们努力上进，所以进步神速，特别是刘凤老师。刘老师精心选择了龙东地区中考第10题规律题题型。此题别具一格，魅力四射，极富挑战性。问题是数学的心脏，刘老师设计的问题环环相扣，步步深入。课堂上教师和学生精彩倍出，让我们每一位听课教师感到非常震撼。同时刘老师本人也收益颇多，真正起到了教研课的示范引领作用，以下是刘老师课堂上的几个精彩片段。
　　二、过程回顾
　　片段一：知识梳理，运用联系
　　1、数列2,4,8,16…则第n个数是__________.
　　2、数列1,3,7,15…则第n个数是__________.
　　3、数列1,2,4,8…则第n个数是__________.
　　[评析]规律题常以数、式、图形等形式出现，刘老师精心设计了几个乘方数列，供学生研究，瞄准学生的好奇心，激发了学生的学习热情，为突破重难点打下坚实的基础。
　　片段二：活动探究，展示提升
　　题型一：图形循环变换规律
　　1、（2015·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，■ ）、B（-1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为                   。







　　生甲：利用相似解题，即图中所有直角三角形都相似。先求OA1=(■ )2,OA2=(■ )3, OA3=(■ )4……OA2015=(■ )2016，再确定A2015的位置。
　　2015÷4＝503……3，所以A2015的横坐标为－(■ )2016，化简后坐标为
　　（－31008，0）；
　　生乙：利用含300角的直角三角形三边之比由小到大为1：■ ：2，我们发现OA2= ■OA1, OA3= ■OA2……也就是OAn= ■OAn-1
　　师：同学们都能积极思考，并能大胆表达自己的想法很好。接着教师利用已准备好的含300角的直角三角板，演示绕原点旋转900的过程。同时指导学生观察哪些是常量，哪些是变量？变量之间有哪些联系？并指出应重点观察指数与角标之间的联系。巧妙地突破了难点。最后，教师总结规律题的解题步骤：1、挖掘基本图形；2、求出对应坐标；3、发现变量联系；4、验证结论正误。总之，规律型习题充分体现了从特殊到一般，从一般再到特殊的数学思想。
　　[评析]学生都会的内容不讲，学生有困难的问题点拨，学生完全不会的精讲。刘老师给学生留下充分的时间探究，真正做到了画龙点睛，符合学生的认知规律。如果能指导学生把一个循环的图形补充完整会更加的形象！还有演示完旋转后要总结这是一个旋转相似变换的过程，会更加形象、生动、深刻！     
　　题型二：图形平移变换规律
　　1、(2014年黑龙江龙东地区）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1= ■；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+ ■；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+■ ；…，按此规律继续旋转，直至得到点P2014为止.则AP2014=          　
             　．
　　生：拿出准备好的等腰直角三角形进行旋转演示，从而发现三个图形一循环这个规律。接着，学生像小老师一样，一边讲一边板书：AP3= ■+2,
　　2014÷3=671……1,AP2014=671×( ■+2)+ ■  =1342+672■ 。
　　师：你能充分利用已知条件，并正确地挖掘出基本图形，说明你对规律型习题已经有了初步的理解。接着教师拿出准备好的基本图形（三个图形连在一起的）。重新操作一遍翻转的过程，学生连连点头，露出快乐的笑容。这充分说明我们的学生已经深深地爱上数学了！
　　[评析]教师利用准备好的连在一起的三个等腰直角三角形这一基本图形演示旋转的过程，使学生豁然开朗，重难点得以有效突破。
　　2、在直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn-1,按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），则Bn的坐标是_________ ．
　　生：本题的基本图形是等腰直角三角形。
　　B1(1,1),B2(3,2),B3(7,4)……
　　Bn(2n－1，2n-1)








　　师：这位同学巧妙地将图形规律转化为数字规律，渗透了数学中重要的转化思想，同时也将本题转化成引例中的数列问题。
　　[评析]教师巧妙地渗透转化思想，如果能再多算几个点的坐标会具有一般性，否则（n2－n+1,2n-1）这个规律对于前三项来说也是成立的，因此应指导学生多计算几个特殊值再寻找规律，这样才具有普遍性。
　　题型三：图形旋转变换规律
　　（2013·黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为              ．









　　生甲:等边三角形的边长为a，则面积为 ■a2。
　　因此，要想求面积就可以转化成求边长的问题。
　　因为sinB＝■
　　所以AB1=2×■，AB2=2×( ■)2, AB3=2×(■ )3, ……
　　ABn=2×(■ )n
　　S△ABnCn= ■×[2×(■ )n]2= ■×4×(■)n=(■)n ■
　　生乙:S△AB1C1=  ■■, S△AB2C2= ■■ , S△AB3C3=  ■■……
　　S△ABnCn= (■)n ■。
　　师：这两位同学利用两种方法讲解此题，讲得都很精彩！本题我还有一个更为简单的方法。图中所有的等边三角形都相似，那面积比应该等于相似比的平方。因为相似比是■ ：2，所以面积比是3：4，因此后一图形的面积是前一个图形的 ■。因此只需求出第一个图形的面积就可以了。
　　[评析]教师能给学生充分的时间去探究，得出了多种方法，培养了学生的发散思维能力。教师适当点拨最佳方法，使学生豁然开朗，如沐春风，真正起到了组织者，引导者，合作者的作用。
　　片段三：归纳小结，反思提高
　　师：本节课你从数学知识和数学思想方法两个方面来总结，有什么收获？
　　知识方面：①规律型习题的解题步骤；
　　②把复杂图形分离出基本图形是解决问题的关键。
　　思想方面：从特殊到一般、化归、类比等数学思想。
　　[评析]通过归纳小结，让学生充分表达自己的想法，提高学生的概括能力，使学生的解题能力得以提升，思维品质得以发展。
　　总之，整节课的教学设计中，突出了学生的自主探索的过程，让学生在自主探索中获得对数学的感悟。教师的启发式讲解的关键――在于教师对启发时机的把握，在于启发时教师提出问题的质量。在课堂教学中，教师的每一句话，每一个问题的提出，都应该是经过深思熟虑的。专业成长的空间是无限的，成熟是相对的，成长是绝对的，只要长期坚持，不懈学习，才能不断完善，尽快成长。只要学校和教师都能重视教学研究，从身边的数学问题入手，积极参与数学研究，课堂教学效率就能不断提高。