【正文】  一、引例：如图1所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)
　　A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
　　B．小环到达B处时，重物上升的高度为(■－1)d
　　C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于■
　　D．绳子拉力对小环和重物做功之和为零







图1

　　二、问题的提出
　　此题是关联运动中的一道典型题目，正确答案为ABD。
　　可不少同学认为A项中，小环刚释放时绳中的张力应当等于2mg。他们的理由是：
　　①小环m和重物2m在沿绳方向的分速度时刻相等，依加速度的定义，则沿绳方向的分加速度也应当相等。
　　②在小环释放的瞬间，对小环受力分析如图2所示，可知此时小环的加速度为重力加速度g，竖直向下，而此时绳子水平，故在沿绳方向的分加速为零；再对重物2m受力分析可知此时绳子拉力等于2mg。






图2
　　真的是这样吗？
　　三、关联运动的两物体加速度关系的分析
　　如图3，将小环的速度v环分解到沿绳方向v1和垂直于绳的方向v2；重物的速度沿绳竖直向上。











图3

　　（1）分析任意时刻：可以看到小环和重物在沿绳方向的分速度大小相等，即v1=v物
　　（2）分析任意过程：可以发现小环沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2的大小和方向都在发生变化；而重物的速度v物一直沿绳竖直向上，大小变化、方向不变。
　　再来看沿绳方向的分加速度：
　　（1）重物沿绳方向的分加速度为a物=■，沿绳竖直向上；
　　（2）对小环来说，建立以定滑轮为原点的极坐标系，如图4，根据微积分的知识可知（ ■、 ■为沿绳、垂直于绳方向的变单位矢量）：
















图4
















　　四、反思小结
　　（1）无论速度的大小还是方向发生变化都会产生加速度。在引例中，如果只注意到小环沿绳方向分速度大小变化，未注意到速度方向的变化，就会得出沿绳方向加速度相等的错误结论。
　　（2）沿绳方向的分加速度是否相等要视具体情况而定：若由绳关联的两个物体只有沿绳方向的运动，则沿绳方向加速度相等；若物体除了有沿绳方向的分速度还有垂直于绳的分速度，则两物体沿绳方向的分加速度不相等。