——农村小学数学思想方法例谈

　　中小学数学教师作为课程的设计者、实施者，在实践新课程的过程中，应不断提升自己的课程意识，关注并实践“现实的、有意义的、富有挑战性的”数学学习素材，使有着不同层次需要的学生有机会接触他们喜欢的数学。
　　数学领域中的知识博大精深，学之不尽。小学生们所学到的只是数学基础知识中最基本的东西。因此，学校教学要求学生掌握基本概念、基本定律、基本运算、演算例题等一些基础知识固然重要，但更重要的是，要让学生了解或理解一些数学的基本思想，学会掌握一些研究数学的基本方法，从而获得独立思考的自学能力。学生进行数学学习，重要的不是知识的积累，而是通过对数学知识的学习，获得数学的思想方法，以提高对现实生活的认识，提升解决问题的能力等。为此，在《标准解读》一书中，将数学思想方法的渗透作为需要进一步研究的问题提出。作为小学数学教师，应该在小学数学教育中有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法，提高学生数学能力和思维品质，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要思维活动,且它本身也蕴涵了情感素养的熏染。这点也是新课程标准充分强调的。 
　　所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度是就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。
　　小学阶段是学生学习知识的启蒙时期，在这一阶段注意给学生渗透研究数学的基本思想和方法显得尤为重要。然而在实际教学工作中存在两个突出的问题：第一，教师专业素养上的缺陷使得教师对数学思想方法缺少一定的认识，这同时也反映出了当前对于义务教育阶段数学思想方法教学研究成果的不足；第二，小学阶段，学生的逻辑思维和抽象思维能力较弱，而研究数学的许多思想和方法都是逻辑性强、抽象度高，小学生不易理解。在这种情况下，我们教学中有意识的对学生进行数学思想方法的渗透与指导，由浅入深，由具体到抽象，由无意识到有意识，分阶段螺旋递进地进行。下面结合我的教学实践谈谈几种常见的数学思想方法在小学数学教学中的应用。
　　一、化归思想
　　一个具有很好数学思维的人，他们总要不自觉地从联系的观点看问题，用转化的思想去材料问题，这就是所谓的化繁为简，以简驭繁，化未知为已知，以已知为基础，探索解决未知的“化归思想”。
　　在小学数学中，处处可以用到化归思想。如把减法化归成加法，把除法化归成乘法，把圆形化归成近似长方形来推导圆面积公式等。
　　1.从未知到已知的转化。
　　当学生面对一个新的、复杂的问题时，通过观察与分析，将其分解为若干个已知的简单问题，或将其还原为基本的数学问题。而这个基本的问题是学生已经解决的，或者是较为简单的，这是应用化归思想的基本原则。
　　2.一般到特殊的转化
　　当学生面对的是一个一般性的问题时，在不违背给定条件的情况下，将一般性的问题转化成特殊的例子，使问题得以解决。
　　例1：在一个盒子中放有写着数字1~50的50张卡片，每次取出若干张算出和，把和的末两位数重新写在一张卡片上，再投入盒子中。如：取出3，5，,20,3+5+20=28，就将28写在新卡片上投入盒中，3，5，,20则不再投入。按照这样的取法，问：最后一次取出后，投入盒子中的数是多少？
　　如果按照题中的方法，每取来投去，一会儿，学生就糊涂了。但是，如果把操作的情况转化成一种特殊的情况，即一次性将1,2,3,4，…，49,50，这50张卡片全部取出，算出和之后，投入盒子中一张，此题便迎刃而解。1+2+3+4+…+49+50=1275，这时，可知投入盒中的数是75。
　　在小学数学中类似的问题很多，用将一般转化成特殊的思想可以使复杂的问题简化，起到出奇制胜的效果。
　　3.局部与整体的转化。
　　包括两个方面，一个方面是局部到整体的转化，即将若干个部分合为一个整体，再从整体上来考虑并解决问题，使零碎的问题整体化；另一个方面是整体向局部的转化，即将一个整体的复杂问题分离成若干个简单的或已经解决的问题。
　　（1）局部到整体的转化。
　　例1：以三角形的三个顶点为圆心，画出3个半径为2厘米的扇形，如图所示，求阴影部分的面积之和。
　　如果按照常规的思维，分别求出三个扇形的面积再求和，以各个击破的方式，可以使问题得以解决。但如果把三个扇形看作一个整体，从整体上考虑，根据三角形内角和是180度这一知识，可以将所求问题转化为求半径为2厘米的半圆的面积。这样完成了有局部到整体的转化，使问题以简捷的方法解决。
　　（2）整体到局部的转化。
　　同上一种情况相反，当学生面对一个整体性的问题时，将整体进行分解，分解成可知或易知的问题，各个击破可使问题得到解决。
　　例：如图所示的两个正方形，边长分别为8厘米和4厘米，那么阴影部分的面积是   平方厘米。
　　从整体来看，阴影部分是一个不规则的四边形，无法直接利用公式进行面积的计算。按照上面的方法，我们可以从整体上来考虑，用大、小两个正方形的面积加上一个直角边为4厘米的等腰直角三角形的面积减去两个空白三角形的面积。如果把整体向局部转化，将阴影部分分割成三个三角形，钝角的小三角形的底和高都是4厘米，大三角形的底是4厘米，高是8厘米和直角边为4厘米的等腰直角三角形的面积。分别求出阴影部分的三个三角形面积再求和，此题可解。这就是将整体转化成局部后解题的。
　　二、数形结合思想
　　数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映，同时也是我们数学的基石。数形结合思想的实质包括两个方面：其一就是通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系通过理想化的抽象方法，转化为适当的图形，从图形的结构只管地发现数量关系，从而解决问题。其二就是把几何图形的问题用数量或方程来表示，从它们的结构入手研究几何图形的相关问题。
　　在我们小学数学教学中，应用较多的是第一种情况，如在解决问题的过程中，借助线段图或其他图形符号，将抽象的数量关系直观地表现出来，这有助于问题的解决，更加符合学生学习的年龄特点。
　　例：在一条笔直的公路上，甲、乙两车停在相距20千米的A、B两地，甲车的速度是75千米/小时，乙车的速度是25千米/小时，如果两车同时出发，经过多长时间相距100千米？这是一道开放性的问题，如果不借助直观图形，对于小学生来说，在分析甲乙两车运动方向，确定数量关系的过程中，很容易遗漏某种情况。反之，如果借助线段图，就能够直观反映出两车行驶的方向，从而确定相遇还是追及。
　　第一种情况：两车相向而行，相遇后继续向前行进，再离开100千米。
　　经过的时间为：（20+100）÷（75+25）=1.2（小时）
　　第二种情况：两车相背而行，在原有20千米距离的基础上再共同行进80千米就行了。     经过的时间为：（100-20）÷（75+25）=0.8（小时）
　　第三种情况：甲车追赶乙车，追上后又超过乙车100千米。
　　经过的时间为：（20+100）÷（75-25）=2.4（小时）
　　第四种情况：乙车追赶甲车，由于乙车速度慢于甲车，所以只能是甲车在前落下乙车至100千米。原来甲车落下乙车20千米，现在只需要在此基础上，在落下80千米就可以了。     经过的时间为：（100-20）÷（75-25）=1.6（小时）
　　在研究数学问题的过程中，注意把数与形结合起来考查，或者把图转化成数，或者把数量关系转化为图形问题，借助直观图形加以今天。数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，充分说明了数形结合思想在解决问题过程中的重要性。
　　三、分类思想
　　分类思想指的是把复杂的对象按照一定的标准不重复不遗漏地分解为不同的类，从而把对象简单化，有助于学生认识对象的真实情况，理解知识间的联系与区别。在形式逻辑中，分类是揭示概念外延的一种逻辑方法。分类，一要有分类标准，二要既不遗漏又不重复。
　　在小学数学中，分类思想贯穿始终，自然数按能否被2整除分为奇偶数；自然数按其因数的个数分为素数、合数和1；三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；典型应用题又分为和差问题、行程问题、植树问题、和倍与差倍问题等。在生活中，商品的摆放，物品的管理、网站的建设与管理等等处处都用到了分类思想，体现着分类思想的价值。应该说分类思想与我们有着密切的关系。
　　一年级老师在桌上散乱地放置如下物品：2个苹果、2支铅笔、1辆玩具汽车、3本书、2个香蕉、1只玩具狗、1把尺子……老师对一名学生说：“你能将桌上的物品整理一下吗？”结果这名学生将桌上的物品整理成三部分——水果、玩具、文化用品。这名学生整理物件时采用的就是分类方法。
　　再如我在教学四年级数学“认识方程”这节课中，首先通过举例子的方式得到了几个式子：50+50=100,50+X=100,100+X>200   a+100<200  250+250=500 X=0 n-100=50……。我让学生先把这些式子按一定标准分类，结果学生讨论后有两种分类方法：一种是按是否为等式分为两类；一种是按是否含未知数分为两类。于是我顺着学生的思路再次要求分类：按是否为含有字母的等式分类，结果学生自然而然的把方程这一类分了出来。这当中分类思想对教学目标的达成显得尤为重要。
　　当然，在数学教育中,加强数学思想和数学方法的渗透不只是单存的思维活动,它本身就蕴涵了情感素养的熏染。而这一点在传统的数学教育中往往被忽视了。我们在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更加应该关注的是伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观。《标准》把“情感与态度”作为四大目标领域之一，与“知识技能”、“数学思考”、“解决问题”三大领域相提并论，这充分说明新一轮的数学课程标准改革对培养学生良好的情感与态度的高度重视。它应该包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。另一方面引导学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。
　　现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有建模思想、集合思想、极限思想、符合思想等等，小学数学教学中都有所涉及，需要我们在教学中不断的探索、实践，做教学有心人。基本的数学思想与数学方法是基础数学的本质，突出其教学时把知识与能力训练训练统一起来的重要一环。把学习看做一个过程，弄清知识的来龙去脉，掌握思想脉络，学生的数学才能得以发展。学生只有掌握了数学思想和数学方法才能做到以数学眼光观察世界，提出问题、思考问题与解决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。
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