【正文】1.1 欧拉公式
　　传统的标准足球是由32块皮革组成的，其中每个正五边形周围相邻的五块皮革都是正六边形的；每块正六边形的周围相邻的六块皮革，由三块正五边形与三块正六边形组成。并且，在每个拼接点周围，恰有两个正六边形与一个正五边形。有趣的是，通过我们了解到的这些事实，我们可以轻易计算出组成足球的32快皮革中，正五边形与正六边形各自的个数。
　　首先，设正五边形的数目是x，正六边形的数目是y，显然我们有
　　x+y=32.
　　其次，我们可以将足球看作一个多面体，其表面由正五边形与正六边形组成。显然多面体的面数为32，棱数为■。承前所述，容易知道这个多面体的顶点数目为■。在几何学中有一个著名的公式——欧拉公式，即多面体的面数+顶点数-棱数=2。因此，我们可以列出另一个方程：
  32+■-■=2.
　　结合这两个方程，可以求得x=12,y=20。
　　因此，通过欧拉公式，多面体的三个主要特征：顶点，棱长，面被有机的联系到了一起，可见欧拉公式在立体几何中是多么的美妙呀！
　　1.2 曲面上的角，曲率
　　对于第二个问题，不妨换一种问法：我们可不可以直接用一张皮革制作成一个足球？
　　想象一下家中的地板砖。在铺地板砖时，我们必然会要求地板砖将整个地面铺满，不要留出一丁点的缝隙，这就是常见的密铺问题。而要满足密铺的条件，在每个拼接点处，所铺地板砖的角度之和必须为360°。回到传统的足球中，我们知道每个拼接点周围有一个正五边形和一个正六边形，从而拼接点处角度之和为348°。同样是密铺，但是地板与足球面在一个拼接点周围的角度之和却不相同。这种情况出现的根本原因在于地板与足球面的高斯曲率的差异。
　　尝试将一张足够大的纸，裹在一个球体的外部。那么我们会发现，无论怎样去裹，球体外部的纸总会出现“褶皱”。也就是说，除非将纸切除多余的“褶皱”部分，否则我们是无法将平面上的一张纸无“褶皱”地裹在球体的外部的。这便给了我们对于平面与球面曲率之间差异的一个直观认识。
　　严格来说，过曲面上一点的所有曲率中的最大曲率与最小曲率，称之为该点的主曲率。而曲面上某一点的高斯曲率指的是在这一点上两个主曲率的乘积。如果从高斯曲率来看上面“褶皱”现象的原因，便是由于平面的高斯曲率为0，而球面的高斯曲率不为0。平面与球面高斯曲率的不同，就导致我们是不可能将一个平面没有任何“褶皱”地铺在球面上的。
　　再举个相关的简单的例子。我们熟知一条定理：“三角形的内角和为180度。”这个定理严谨的叙述应该是“平面上的三角形的内角之和为180度。”举个最简单的反例：一个位于球面外侧的三角形，其内角和大于180度。因此，平面与球面的曲率差异，导致了他们在某些性质上不完全相同。
　　因此，如果我们想要从一张皮革出发，将其拼接成一个完美的球面，我们需要切割掉无穷多的细小“褶皱”，这样的操作是很难做到的，而传统足球选用五边形与六边形的拼接自有其道理所在。在平面上，我们所谓的周角，即绕定点一周的角度，为360°。而在传统足球中，每个拼接点周围的角度之和为348°，接近360°但小于360°。这样的差异，导致在拼接点处，拼接成的面“弯曲”了。由于在拼接处曲面并不光滑，与真正的球面有一定差距，但是相对误差已经很小了。除此之外，由于皮革有一定的柔韧度与弹性，充气之后会发生一定的弹性形变。在足球内部气体充足的情况下，拼接后的球体与完美的球体的误差就更小了。因此，传统的足球采用了正五边形与正六边形拼接的方式，尽可能的使足球接近于一个完美的球体。
　　可见，数学知识对于选择足球的制作方式，也是有着不可或缺的作用的。