数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，只有通过数学思想的培养，人的数学能力才会有一个大幅度的提高，掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。函数与方程的思想是中学重要的数学思想方法之一，函数的思想，是用运动、变化和对应的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决；方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。我们应结合中学数学的实际多种途径培养学生的函数与方程思想，达到提高学生数学能力的目的。
 一.运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题
例1.（1）如果方程 在 上有解，则 的取值范围是_______;
分析：此题虽然是方程问题，但转化为函数问题则容易解决。
解法一：设 上有解，显然当且仅当 属于 的值域时， 有解.
 ,且由 知， ，易求得 的值域为 ，故 的取值范围是 .
解法二：令 ，由 ，可知 ，将方程变为
 ，依题意，该方程在 上有解.设
 ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴 ，                        
如图所示，因此 在 有解等价于 即 ，
 ，故 的取值范围是
(2) 设函数 ，
已知不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围.
解：   因为 ，
所以当 时，函数有最大值 ，
当 ，函数有最小值 ，
因为 对一切 恒成立，所以
且 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
规律感悟：方程有解，取值范围，不等式有解和恒成立问题大都可以通过分离参数、换元、消元等方法转化为函数问题，然后运用函数知识求解。
二.运用函数与方程思想解决数列问题
例2.已知数列 满足 ,
 成等差数列.
(1) 求 的值及数列 的通项公式；
(2) 设数列 满足 ，证明：
解：(1)由 ，得
因为 成等差数列，所以 ，即
 ，得 ，依题意知
当 时，    将以上式子相加得
 所以 ，又 符合上式，
故 .
(2)证明：因为 ，所以 .
所以
若 ，则 ，即当 时，有 ，
又因为 ，故 .

例3.已知数列 中， .
(1)若 ，求数列 中的最大项和最小项的值；
(2)若对于任意的 ，都有 ，求 的取值范围.
解：(1)因为 ，
又因为 ，所以 ，结合函数 的单调性可知
所以数列 中的最大项为 ，最小项为 .
(2) 
因为对于任意的 ，都有 成立，结合函数
 的单调性，知 ，故 的取值范围是
规律感悟：数列是特殊的函数，常常应用函数观点解决递推数列问题，用函数的方法研究数列的项或和的最值，用方程的思想解决数列的基本运算。
三.运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题
例4设圆 的圆心为 ，直线 过点 且与 轴不重合， 交圆 于 两点，过 作 的平行线交 于点 .
(1) 证明： 为定值，并写出点 的轨迹方程；
(2) 设点 的轨迹方程为曲线 ，直线 交 于 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 两点，求四边形 面积的取值范围.
解：(1)因为
所以 .又圆 的标准为
 ，从而 ,由题设得
 ，由椭圆定义可得点 的轨迹方程为
 
  (2)当 与 轴不垂直时，设 的方程为
  由 得
 ，则
  所以
 ，过点 且与 垂直的直线
 ，点 到 的距离为 ，所以
 .故四边形 的面积
 ，所以当 与 轴不垂直时，四边形
 面积的取值范围为 ，
当 与 轴垂直时，其方程为 ,四边形
 面积为12.
综上，四边形 面积的取值范围为 .
规律感悟：解析几何中，直线与圆锥曲线的位置关系问题都会涉及方程组根的讨论，而最值和取值范围问题常转化为函数问题求解。
总之，函数与方程内容丰富，应用广泛，在历年高考试题中对函数与方程及其思想方法的考察遍布于代数、三角、几何以及各类题型的题目中，函数与方程的实质是揭示了客观世界量的相互依存又相互制约的关系，不仅在数学方面各种题型的应用，而且还应用到了其它学科知识中，学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，只有建立了函数与方程的思想，才能主动地去思考一些问题。因此函数与方程思想的教学，既有着不可替代的重要位置，又有重要的现实意义。