【正文】  参考案例 题目：如图，这是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积. 









　　几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。在这里的物体就是一个奖杯，我们要研究它的形状与大小。在现实生活中，设计师要无中生有的设计出时尚的发型、典雅的时装、别致的建筑物等，工人要根据图纸准确作出发型，服装，零件，建筑工人要根据图纸建造出高楼大厦。立体几何就是培养学生的四种能力：










　　（1） 认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力；
　　（2） 推理论证能力
　　（3） 应用图形语言进行交流的能力
　　（4） 几何直观能力。
　　为了达到这些要求，我们通常采用直观感知、操作确认、思维论证、度量计算等方法认识和探索集合图形及其性质.





　　分析：由这个奖杯的三视图，可以画出它的直观图（如图），这是一个由球、棱柱和(伪)棱台组成的一个简单的组合体，所以它的体积是由三部分组成。把这个组合体分离成球、棱柱和(伪)棱台.
　　第一部分，球如图，球的半径为2cm，体积为V1=■π×23=■cm3








　　第二部分，棱柱，是直棱柱也是长方体（如图），长为8 cm，宽为4 cm，高为20 cm，体积为V2=8×4×20=640cm3







　　第三部分，(伪)棱台，是棱台吗？由于上下底面不相似，故该多面体不是棱台，其实是拟柱体中的长方台.我们不能用台体的体积公式求解，但可以用割补法求其体积.
　　我们把该多面体放大并标上字母，如图多面体ABCD-A1B1C1D1，连结AB1,CB1,D1B1，把它分割成三个四棱锥（如图），四棱锥B1-ABCD、四棱锥B1-ADD1A1、四棱锥B1-CDD1C1，分别计算它们的体积








　　V四棱锥B1-ABCD=■S矩形ABCDh=■×20×16×2=■cm3
　　V四棱锥-ADD1A1=3V三棱锥A-A1B1D1=3×■S△A1B1D1h=■×12×8×2=96cm3， V四棱锥=B1-CDD1C1= ■V三棱锥C-B1C1D1
   ■×■S△B1C1D1h=■×■×12×8×2=■cm3
　　所以(伪)棱台的体积为
  V3=■+96+■=■cm3
　　奖杯的体积为V=V1+V2+V3=■+640+■=■cm3.








　　教学建议：为了解决这个问题，我们可体以分步完成
　　（1）我们讲三视图时，可以让学生自己找一个空间图形（最好与本题中奖杯的形状一样）让亲自学生动手测量有关数据，并作好记录，画出它的三视图，
　　在老师进行指导，并要求学生保管好三视图或者由老师集体保管；
　　（2）当我们讲到直观图时，让学生根据实物画出直观图，并要求学生保管好直观图或者由老师集体保管；
　　（3）过一段时间，让学生根据三视图画出直观图，但是不准看实物，也不准看原来画好的直观图，画完了再与实物和原来画好的直观图进行比较，同时比较三视图与直观图之间的区别与联系；
　　（4）当我们讲到空间图形时，让学生看着三视图结合实物分离出各个简单的几何体，并观察底座是棱台吗？比较直棱柱、正棱柱、长方体、正方体等之间的关系;
　　（5） 当我们讲到体积时，要求学生根据三视图计算该实物的体积和表面积，学会用割补法求多面体的体积，注意巧选底面;
　　（6） 让学生把该题目完整地作出来，并总结其中要点;
　　（7） 让学生自己设计一个奖杯，先画出它的三视图和直观图，然后用彩纸制作出来;
　　（8） 底座是不是棱台哪是什么，它有没有体积公式？参考2002北京高考第18题。让学生了解拟柱体，长方台，楔体等多面体。让学生完成以下练习.
　　练习：如图多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成二面角大小相等，上、下 底面矩形的长宽分别为c、d与a、b且a>c，b>d两底面间的距离为h.
　　（I）  求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值。 
　　（II） 在估测该多面体的体积时经常用近似公式V估=S中截面h来计算。已知它的体积公式是V=■（S上底面+4S中截面+S下底面），试判断V估与V的大小关系，并加以证明。
　　让这一道题目贯穿我们学习立体几何的全过程，让学生带着问题学习，让学生在操作中学习。如果学生把这道题目完全搞清楚了，那么该学生的四种能力自然就得到了提高，四种方法也会了，立体几何一定学好了，而且终生收益。