——如何培养逻辑思维

  从高中生思维活动的形式来看，有三种思维类型：形象思维、逻辑思维和直觉思维。逻辑思维又称抽象思惟，是思维的一种高级形式，是一种有条件、有步骤、有根据、渐进式的思维方式，是借助于概念、判断、推理等思维形式所进行的思考活动。直觉思维，就是指主观意识对数量关系、结构关联和空间形式的直接理智的觉察，它不受某种逻辑规则的约束，直接发现、大胆设想、合理推测，获得解决问题的思考方向及结论的思维形式。直觉思维是逻辑思维的升华，逻辑思维是直觉思维的理论基础，两者紧密结合、相辅相成、缺一不可。而中学生学习数学的主要能力是逻辑思维能力，逻辑思维方法主要有归纳和演绎、分析和综合以及从具体上升到抽象等。 逻辑思维具有多样性，包括：正向思维、逆向思维、横向思维、发散思维。
　　1． 正向思维是直接利用已知条件，通过概括和推理得出正确结论的思维方法。这种思维适合已知条件较容易入手，通过概括和推理得到结论也较自然，目标性、方向性很明确。这种思维是我们最普通最常也是我们解决绝大部分问题的思维方式。
　　例1.（2012年江西高考）椭圆■+■=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2,若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为                                .
　　解析：利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:
　　|AF1|=a-c,|F1F2|=2c，|F1B|=a+c.又已知，|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，故(a-c)(a+c)=(2c)2，即a2-c2=4c2，则a2=5c2.故e=■=■.即椭圆的离心率为■.
　　2． 逆向思维是从问题出发，寻求与问题有关联的条件，将只从一个方面起作用的单向联想变为从两个方向起作用的双向联想的思维方法。它克服了正向思维只由已知向结论推导的局限，可从结论逆推，也可从已知和结论双向推导，思维更开阔。这种思维也是我们解决问题的常规思维，它的目的性很强，就是找已知和未知之间的联系。
　　例2：已知双曲线■-y2=1的两焦点为F1,F2，P为动点，若PF1+PF2=4
　　(1) 求动点P的轨迹E的方程；
　　(2) 若A1(-2,0),A2(2,0),M(1,0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线A1R与A2Q交于点S，试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
　　解析：方法一：
　　（1）F1(-■,0),F2(■,0)
　　∵PF1+PF2=4    ∴P点轨迹为以F1、F2为焦点的椭圆
　　∴P点轨迹E方程为■+y2=1
　　（2）设R(x1,y1),Q(x2,y2),l:x=my+1
  x=my+1x2+4y2=4  →(m+4)y2+2my-3=0
  y1+y2=-■y1y2=-■  
　　A1R直线方程为：y=■(x+2)
　　A2Q直线方程为：y=■(x-2)
  联立方程消y得■(x+2)=■(x-2)
  x=■=■
  =■
  =■
  ∴S恒在直线x=4上.
　　这种思维方式是正向思维，但这种方法计算较难，而且目标不明确，因为结论是“点S是否恒在一条定直线上”，是否正确不知道，若正确定直线是哪条也不知道，因此学生很难做到底，对这种开放性的题目，我们不妨用逆向思维，可先通过猜想或特殊情况等等方法得出结果后证明结论，这样有了结论后我们可以有的放矢。
　　法二：设R(x1,y1),Q(x2,y2),l:x=my+1
　　取一条特殊直线m=0
  x=1x2+4y2=4→R(1,■),Q(1,-■)
　　A1R直线方程为：y=■x+■
　　A2Q直线方程为：y=■x-■
　　联立方程得两直线的交点为S1(4,■)
　　若R、Q调换即R(1,-■),Q(1,■)由对称性可知S2(4,■)
　　直线A1R与A2Q交于点S若在一条直线上只能是x=4
　　下证S恒在直线x=4上
　　A1R直线方程为：y=■(x+2)
　　A2Q直线方程为：y=■(x-2)
　　联立方程消y得■(x+2)=■(x-2)
　　只需证x=4适合上式
　　即证■=■
　　消去x1,x2即证■=■
　　即证4my1y2=6(y1+y2)
  x=my+1x2+4y2=4→(m+4)y2+2my-3=0
  y1+y2=■y1y2=-■
　　得4my1y2=6(y1+y2)成立
　　例3：f(x)是[1,+∞]上单调增函数，且当x0≥1，且f(f(x0))=x0，求证：f(x0)=x0
　　证明：(用反证法)假设f(x0)≠x0
　　①若f(x0)＞x0又有x0＞1,f(x0)≥1,f(x)在[1,+∞]上是单调增函数
　　∴f[f(x0)]＞f(x0)＞x0这与f(f(x0))=x0矛盾
　　②f(x0)＜x0又有x0＞1,f(x0)≥1,f(x)在[1,+∞]上是单调增函数
　　∴f[f(x0)]＜f(x0)＜x0这与f(f(x0))矛盾
　　∴f(x0)＞x0与f(x0)＜x0都不成立
　　∴f(x0)=x0得证
　　3. 横向思维是以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，把问题变换成另一种情况，唤起对已有知识的回忆，沟通知识的内在联系，从而开阔思路。它含有一定的直觉思维，是逻辑思维与直觉思维的综合。如从1990年底到2012年底经过多少年？我们可从1990年底到1992年底经过多少年这个问题入手找出规律，即复杂问题可从相关联的简单问题入手，再用归纳、类比的方法得出原题的正确解法。如指数与对数、等差数列与等比数列、椭圆与双曲线等等都存在着某种必然的联系。指数与对数仅是表达式中x与y的对调，因此在解这些题的方法上也可雷同或将指数、对数互化后再解题。等差数列与等比数列在定义上是前后两项减与除的区别，等比数列是等差数列的高一个级别的运算，故在解等比数列问题时可类比等差数列。椭圆与双曲线的第一定义是两个焦半径和与差的绝对值的区别，而且椭圆与双曲线及抛物线的统一定义是一样的都是属于圆锥曲线，它们的这些横向联系决定着它们在解题方法上的雷同，这就是产生横向思维理论基础。
　　例4：过双曲线■-■=1(a＞0,b＞0)的右焦点F且倾斜角为600的直线l与双曲线交于A、B两点，且■=2■，求双曲线的离心率。










　　分析：此题与焦半径有关，我们想到双曲线的定义，而用定义解圆锥曲线题我们更熟悉的是椭圆与抛物线，联想椭圆与抛物线相关题我们不难找出正确的解法。
　　解析：作双曲线的准线l，作AA1⊥l,BB1⊥l,BM⊥AA1，如图
　　设BF=n，AF=2n，由圆锥曲线的统一定义知
  ■=■=e，则AA1=■=■,BB1=■=■
  AM=AA1-BB1=■
  在Rt△ABM中，AM=■,AB=3n,∠MAB=600
  cos600=■=■=■
  则双曲线的离心率e=■
　　4. 发散思维的思维方式与集中思维相反，是从不同的角度、方向和侧面进行思考，因而产生多种的、新颖的设想和答案。它也含有一定的直觉，是逻辑思维与直觉思维的综合。从一题多解及同类题型的归纳总结可培养发散性思维，因此我们在学习过程中不能局限于一种方法，更不能就题论题，要从不同的角度、方向和侧面进行思考，想出多种解法，从中抽象出最优的解法。解完题后要多思考，并把学习过程中的相关题目及同种解法的不同题型进行归纳总结提升。
　　例5. 已知AB是抛物线y2=2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的倾斜角为α，点F为抛物线的焦点，M为AB中点，A1,B1,M1分别为A， B，M在准线上的射影，求证： ■+■=■













　　解析：方法一
　　当直线AB与x轴不垂直时，设AB为y=k(x-■)
  y2=2pxy=k(x-■)→k2x2-p(k2+2)x+■=0
  ∴x1+x2=■x1x2=■
  ■+■=■+■=■
  =■=■
　　当直线AB与x轴垂直时，AB为x=■有■+■=■
  ∴■+■=■
　　方法二：
　　设直线AB：x=my+■
  y2=2pxx=my+■→y2-3pmy-p2=0
  ∴y1+y2=2pmy1y2=-p2
  ■+■=■+■=■+■
  =■=■
　　方法三：（用平几知识）
　　设AF=m，BF=n，过F作l⊥x交AA1于A2,交BB1于B2
  AA2=m-p,BB2=p-n
  ■=■=cosα
  ∴m=■,n=■
  ■+■=■+■=■+■=■
　　方法二显然比方法一简单，而方法三又比方法前两种方法简单的多，但我们不能仅学第三种方法，若题目变为要证明y1y2=-p2,x1x2=■用第三种方法又不行，只能用前两种，因此我们在学习过程中要尽量一题多解，这样才能扩展思维。解完题后多思考：请问你还能得到哪些结论？
　　解析：有以下几个结论
　　（1）y1y2=-p2,x1x2=■；
　　（2）AB=x1+x2+p=■；
　　（3）S△AOB=■；
　　（4）■+■=■；
　　（5）以AB为直线的圆必与抛物线的准线相切；
　　（6）BM1⊥AM1；
　　（7）B1F⊥A1F
　　（8）A1,0,B三点共线
　　（9）过B，A作抛物线切线交准线与同一点且为A1B1的中点
　　不管是正向思维、逆向思维、横向思维、发散思维中的哪一种都是逻辑思维必不可少的，我们在学习和生活中应注重训练多方思维的好习惯，这样才能面对各种题型游刃有余。