【正文】问题：求不定方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6=21的正整数解的组数。
　　这是2009年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛第10题,一个计数问题。如何解答这一问题,涉及一类计数问题的解答,这类问题就是无差异的数据分配问题。
　　无差异的数据分配问题,就是分配给对象的元素仅有数据多少的不同,不管元素自身的差异。比如，9个优秀指标分配给四个部门，每个部门至少一个，就是无差异数据分配。
　　无差异的数据分配问题可以利用隔板法进行求解。我们先来研究一个简单案例，感受隔板奇效。
　　案例1：将10朵鲜花全部插到四个花瓶里，每瓶至少一朵，有多少种插法。
　　分析：每个花瓶插入数目不同，插法就不同，至于具体插哪朵，没有影响，因此为无差异数据分配问题。如图所示，将10朵鲜花排成一列，
　　○○○○○○○○○○
　　10朵花之间有9个空，选三个空各放一块隔板，就对应一种数据分配方法，比如，
　　○○l○○○l○○l○○○
　　意味着四个花瓶依次插2、3、2、3朵。换一种隔法，
　　○l○○○○l○○l○○○
　　意味着四个花瓶依次插1、4、2、3朵。
　　从9个空中选3个放隔板的选法数，就对应着不同的插花方法数，共有种。
　　注意，上面采用隔板法时，要求每个对象至少分一个元素。下面给出两个变化形式，供大家进一步体会方法。
　　案例2：将10朵鲜花全部插到四个花瓶里，有多少种插法。
　　分析：与案例1比较，这里插花时的要求由“每瓶至少一朵”变为无要求，意味着有花瓶可以是空的。直接用案例1的做法，不能达到要求。如何将无要求转化为“每瓶至少一朵”，是解题的关键。我们不妨先在花的总数中加上瓶数，使鲜花总数成为14，按案例1的方法，每瓶至少分一朵，分完后每瓶再减去一朵，就是一种实际的分配方法。比如按14朵分成1、1、6、6，实际分就是0、0、5、5。由案例1方法，14朵花全部插入4个花瓶中，每瓶至少一朵，有种插法，所以案例2插法种数为。
　　案例3：将10枝玫瑰全部插到编号为1、2、3的三个花瓶里，每瓶所插花数不低于花瓶编号，有多少种插法。
　　分析：与案例1比较，这里插花时的要求由“每瓶至少一朵”变为“每瓶所插花数不低于花瓶编号”，直接用案例1的做法，也不能达到要求。如何将“每瓶所插花数不低于花瓶编号”转化为“每瓶至少一朵”，是解题关键。我们可以先在编号为2的花瓶中先插1枝，编号为3的花瓶中先插2枝，剩下的7朵花插到3个花瓶中每瓶至少一朵，就可以利用案例1的方法，7朵花之间有6个空，从6个空中选2个放入隔板，共有种放法。
　　如果我们将案例中的插花变为求方程的正整数解或求方程的整数解，就分别对应着案例1与案例2的解答方式。
　　下面给出文章开头竞赛题的解答，供大家参考。
　　解答 ：令x1+x2+x3=x，x4+x5=y，x6=z，则x≥3,y≥2,z≥1．
　　先考虑不定方程x+3y+5z=21满足x≥3,y≥2,z≥1的正整数解．
　　∵x≥3,y≥2,z≥1，
  ∴5z=21-x-3y≤12
　　∴1≤z≤2，
　　当z=1时，有x+3y=16，
　　此方程满足x≥3,y≥2的正整数解为(x,y)=(10,2),(7,3),(4,4)．
　　当z=2时，有x+3y=11，此方程满足x≥3,y≥2的正整数解为(x,y)=(5,2)．
　　所以不定方程x+3y+5z=21满足x≥3,y≥2,z≥1的正整数解为(x,y,z)=(10,2,1),(7,3,1)(4,4,1),(5,2,2)
　　又方程x1+x2+x3=x(x∈N,x≥3)的正整数解的组数为C2x-1，方程x4+x5=y(x∈N,x≥2)的正整数解的组数为C1y-1，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为
　　C29C11+C26C12+C23C13+C24C11=36+30+9+6=81。
　　链接练习：
　　1.将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班，每班至少一名，共有多少种分配方案？
　　2.求方程x1+x2+x3+x4=100的自然数解的组数.
　　参考答案
　　1.解:将10个名额并成一排,名额之间有9个空,用5块隔板插入9个空,就可将10个名额分为6部分,每一种插法对应一种分配方法,故有C59种方案.
　　2.解:将原方程变为(x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1)=104,
　　令yi=xi+1,(i=1,2,3,4),求方程x1+x2+x3+x4=100的自然数解,相当于求方程y1+y2+y3+y4=104的正整数解的个数,用隔板法,共有C3103组解法.