【正文】  【摘 要】 本文主要是针对目前新课程改革进程中，课堂教学里存在的不适应的教学常态；教材处理的局限模式而探寻新的思维增长点，力图从新理念的高度，结合具体教材实际案例，源于课本，而高于课本，为学生的终生学习发展创设良好的行为积淀。
　　【关键词】 思维空间；探索；再创造

　　一、一个借鉴
　　看过齐白石的《虾戏图》，我们脑海中都会留下深刻的印象，大篇的空白下却只有几只墨虾，没有水痕，没有涟漪，但却使人产生了丰富的联想思维空间，而教学中不也可以从中得以借鉴和启示吗？“有所不为而有所为”的思想正是这一体现。
　　二、一个理论
　　数学思维是人们在数学活动中的思想或心理的过程与表现，它是通过对数学问题的提出、分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象的本质和规律性的认识过程。我们平时提到的数学意识、观念以及数学的精神、思想、方法等则是数学思维活动的宏观概括和具体体现。
　　三、具体案例
　　应注意问题联想性、问题发散性、问题质疑性、问题导向性、问题的类比性等等，本文结合教材中的具体案例对此加以说明。
　　1、问题联想性:
　　案例1、人教版必修5解三角形P11页例1-5
　　如图设A、B两点在河的两岸，人不能到达对岸，如何测量两点之间的距离？
　　例1，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=510度，∠ACB=750度







　　解决：利用一次正弦定理即可，即已知对边和对角，即可求出另一角的对边。
　　例2、如图设A、B两点在河的对岸，人不能到达对岸，如何测量两点之间的距离？
　　解决：在河岸边取C、D两点，并测量其长度为a,如图测出四个角α、β、γ、δ，先在▲ACD中利用两角∠ADC，∠ACD和一边CD利用正弦定理计算出AC,再在▲BCD中同样方法求出BC，最后在▲ABC中用所求得的两边和夹角利用余弦定理求出AB







　　例3、AB是底部B不可到达的一个烟囱，A为烟囱的最高点，设计一种测量烟囱高度AB的方法。
　　解决：▲ACD中测得两个仰角，一条边CD，利用正弦定理求出AC的长，再在RT▲ABC求得直角边AB从以上几个例题，你能联想到哪些问题？它们之间有什么样的联系？








　　本质在哪里？
　　以下是学生的具体思维联想
　　联想：几个问题都是解决不能到达的测量问题，通过间接方法和三角形变换进行。例2是两次用到例1，双次迭加，分别用两次正弦定理完成的，其中用到了4个角和一边，并且学生提出更新的想法，取三点C、D、E（可以不共线）即如图，分别在▲ACD和▲BDE中进行，线条没有交叉，更直观易懂，尝试成功






　　发现以上例题都是四点之间的边角类型，例2通过一边和四个角可以解决问题，那么后面的例题只是他的特殊情形，包括空间竖直问题，立体棱锥问题，不变的都是已知测量出一边，最多用到四角，及两个三角形就可以把所有的问题变换成一个平面模型。
　　2、问题发散性：
　　思维的聚合与发散是两个不可分割的可逆的有机整体，大多数情况学生乐于聚合，寻找答案，聚合成唯一，这是一种习惯性思维。
　　案例2、人教版选修2-3计数原理P5页例4
　　要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
　　（先独立做）发现一个学生，立马请他回答
　　学生1：分两步，先从3幅中选1幅挂在左，再从剩下的两幅中选出1幅挂在右就好了3×2=6种嗯，很好，这就是书本解法，体现了分步原理的思想。
　　学生2：拿着他的解法站起来，老师我的式子也是3×2，但想法不一样的，不知道对不对？
　　分两步，先将三幅中选出两幅，包括甲乙、乙丙、甲丙，再将选择出的两幅挂到左右，3×2=6种（众人惊讶）式子完全一样，居然想法截然不同？（很多学生不断点头似有所悟）
　　下面大家再集中讨论一下，两种解法的根源，要有新的想法哦。
　　发现了三组同学的独特想法，下面请两个代表回答一下
　　学生3：分两类，第一类含甲，包括甲乙、甲丙，有2×2=4种，第二类选出不含甲，只有乙丙了，共6种；通过以上陈述，6=3×2=2+2+2=2×2+2=······按照这样的思路，6可以组合形成更多的形式，而不同形式之间，甚至同一形式之间都蕴含了截然不同的思维，这是一次思维的碰撞，希望以后课堂中能有更多的思维火花闪耀（众人鼓掌,眼睛亮亮的）
　　反思：从这个问题的背景来说再简单不过了，之前学生也很不以为然，但是针对这个问题的发散后，改变了大多数同学看书本的态度，体现了“小问题，大思维”，效果非常好，我想这归功于还把空间给学生。希望我们的学生能在广袤的思维空间中自由翱翔。
　　3、问题质疑性
　　目前的教学现状是追求问题的准确性和最优化，但很少对教材，思路，解法进行批判式的精神，这是不利的，完全接纳只是一味地使学生片面化的倾向权威性，变“接纳式学习“为”批判式质疑“，无疑是可以提高学生认识事物的辩证思维空间。
　　案例3、选修2-3,P59习题B1
　　甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？
　　解：教参的标准答案是按照独立重复实验的方法，把甲赢的局数x看成对象，则P（x≥2）=P(x=2)+P(x=3)=C230.620.4+0.63--------- ①
　　但学生对于这个解法提出了质疑，
　　作业中的多数解法：令Ai表示第i次甲赢，Ai表示乙赢，
　　则P(A1A2)+P(AiA2A3)+P(A1A2A3)=0.62+2·0.4·0.62=0.6286------②
　　这符合生活常识，P(A1A2)即三局中先赢两盘的为胜者，不须打第三盘，答案也等于0.6286，两者是偶然的吗？他们是否有必然的联系？很多学生面对这个问题也是百思不得其解，（学生困惑的眼神）
　　照理①其中的P(x=2)=C230.620.4都是按打满三局来计算，是违背常理的。






　　课堂剖析；问题恰恰就出在两者的结构上，两相对比，就可看出其中端倪，②中的P(A1A2)是指即甲先赢两局，第三局可赢可输，包含了P(A1A2A3)和P(A1A2A3)两种情形，而P(A1A2A3)就等于①中的P(x=3)，并且P(A1A2A3)与②另外的两者P(A1A2A3)、P(A1A2A3)合起来就是①中的P(x=2)甲赢两局的情况，至此真相大白。（学生若有所思，有感悟）
　　四、结束语
　　学生的学习过程不仅是一个接受知识的过程，而有也是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程，这个过程一方面是暴露学生产生各种疑问、困难和矛盾的过程，另一方面是展示学生发展聪明才智、形成独特个性与创新成果的过程。  
　　 新课程，新标准，新理念，新高考这些都预示着崭新的开始，我们要相信学生，放开手，让他们成为未来的主人，我们要作的是为他们插上思维的翅膀，让他们在无限的空间中自由翱翔。
　　参考文献：
　　[1]张奠宙 普通高中数学课程标准解读[M] 江苏教育出版社 2004年
　　[2]魏本义 应如何设计 更科学合理 中学数学教学参考 2008年第6期
　　[3]朱占奎 加密拓展思维链 二次开发教材更好解读课标关键 中学数学教学参考 2008年第4期