【正文】  【摘 要】 在当前函数问题是高中数学学习过程中永恒的话题，函数问题是经常会遇到的，并且在我国高考的试卷中也占有较大的比重。因此，高中数学学习一定要突出这一重点，在有关函数问题时一定要仔细，要多涉及与函数有关的知识点，还要多做一些有关函数这方面的习题，只有在平时多练习，才可以更好的巩固和掌握函数这一方面的知识点，从而就可以更好的促进他们在学习方面的进步。本文为了更好地学习有关于函数的知识，特别的就针对函数对称性这一方面进行了相关的探讨，主要介绍高中函数的集中解题方法，希望可以有利于同学们对于函数对称性这一方面的学习有所帮助。
　　【关键词】 高中；数学；函数

　　函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
　　一、 函数自身的对称性探究
　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
　　f (x) + f (2a－x) = 2b
　　证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x)
　　即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。
　　（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
　　∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。?
　　故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0
　　定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
　　f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) ?（证明留给读者）
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x)
　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
　　①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
　　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
　　∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：
　　f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
　　∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
　　f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得
　　f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
　　f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
　　二、 不同函数对称性的探究
　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b－f (2a－x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
　　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a－x)的图像关于直线x = a成轴对称。
　　②函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
　　③函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。
　　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x－y = a的轴对称点为P‘（x1， y1），则x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴点P‘（x1， y1）在函数x－a = f (y + a)的图像上。
　　同理可证：函数x－a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x－y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
　　综上可知，函数的对称性问题内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定的模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互相补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的对称性解题方法是灵活多样的，除了以上讲的，还有很多种方法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间，同时，在解题过程中要注意函数的改变，万变不离其宗，避免出现错误。总之，在学习函数的过程中，将知识、方法和练习有机地整合起来，建立一个立体网络，就一定能达到良好的学习效果。对函数概念、图象知识结构、方法原理进行系统分类、概括、推广和延伸，从而使自己对数学的理解从低水平上升到高水平，提高自己的探究能力。如果，我们能够把函数的知识学习很透彻，那么对于高中数学其他的知识学习会有很大的帮助。