【正文】  【摘 要】 基础教育数学课程改已进入素养为本的阶段，推进这一阶段深入发展的关键因素是数学课程发展方法的运用水平，特别是中小学一线教师的运用水平直接决定着当前基础教育数学课程改革的成效。数学课程发展方法主要有5种方法，每种方法都包含数学学科、学习者（学生）、数学学科怎样和学习者建立关系3个基本要素，以此为3种标准可将5种方法分成不同的类别，并在此基础上结合中小学一线教师的专业发展现状，推荐行为主义方法、结构主义方法和一体化教学方法3种方法作为素养为本课程改革阶段的主要方法，同时对其从必要准备、操作要点和注意事项3个方面进行了实践运用分析。
　　【关键词】 数学课程发展方法；素养为本；中小学一线教师；实践运用

　　当前的基础教育数学课程改革已经推进到素养为本的阶段，如何将素养在中小学真正落地是当前改革实践的重要目标。要想实现这一目标就需要从数学课程本身来考虑问题，“数学课程发展既有背景的环境气候，又有本身所包含的内容。这两者决定了它的结构形式、运转机制以及成绩的大小”，而当前新时代背景的环境气候为基础教育数学课程改革发展创造了良好的条件，这样数学课程发展本身所包含的内容无疑成为重要的因素，即如何通过数学课程发展为当前中小学数学素养为本的教学贡献力量就成为当前研究的重要问题。我国学者历来重视数学课程发展研究，在最新的《义务段数学课程标准（2011版）》和《高中段数学课程标准（2017版）》前言部分阐述了数学科学观、数学教育观和数学文化观，这三种有关数学的观念都为数学课程发展的方法提供了内容的指导。那么，用什么样的方法发展数学课程才能适合当前的基础教育数学课程改革的现实情况呢？由于中小学一线教师肩负落实素养为本教学的重任，因此适合他们的数学课程发展方法才能真正有效。以下运用观察法、比较法和文献分析法对数学课程发展方法这一问题进行深入研究探讨。
　　一、数学课程发展方法与数学课程改革
　　基础教育数学课程改革成为当今时代世界各国共同的公共教育行为，每一轮改革都对数学课程发展做出一定的贡献，这些贡献宏观上来讲就是提高了数学教育水平，而数学课程发展涉及到数学教育的目的、内容、方法和评定等，其中数学课程发展方法对数学教育教学水平的提高具有重要意义。数学课程发展方法是每次数学课程改革的核心，它汇集了数学课程改革的内外部因素的制约，是数学课程改革的精髓，反映了数学课程改革的水平和效果。数学课程发展方法在数学课程改革的初期主要是由改革的酝酿者所具有，然后随着课程改革的深入推进，只有真正为教师掌握才能真正把数学课程改革发展的成果发挥最大价值，因此，数学课程发展方法的研究要从基本的数学课程发展方法开始，逐步按照教师的现有专业发展水平进行改进优化，逐渐成为每位一线教师所掌握，这样才能最大限度地提升数学教育教学的效果。
　　自2001年实施的基础教育数学课程改革至今一直在推进，比较对照今天常态的数学课堂中数学课程实施与20年前的都有哪些进展呢？毫无疑问，在数学课程发展的外部因素方面，已发展到了一个相当的水平，尽管考试评价改革作为当前突破改革瓶颈的重要方面也有所行动，但是从当前中小学生个体所得到的评价来看，出了不同的符号和形式外，排名分等的实质几乎没有什么变化。面对这一现实情况，如何才能实现基础教育数学课程在素养为本阶段的新突破呢？那就要考虑从数学课程发展内部的因素去考虑，只有数学课程本身真正发展了，才有可能真正改变基础教育数学课程改革的外在评价大大限制数学课程改革发展水平的外部因素，从而推动素养为本的数学课程改革的扎实进行。虽然当前基础教育数学课程改革追求核心素养的呼声很响，但是不可否认的是，重视数学课程本身发展方法的运用才是当前更为迫切的，这也是新一轮义务教育数学课程标准修订所要考虑的重要方面，同时给中小学一线教师深度参与基础教育数学课程改革的一种本领，为真正推进素养为本的基础教育数学课程改革创造更好的条件。
　　二、基本的数学课程发展方法
　　按照数学教育家豪森（Geoffrey Howson）等的研究，数学课程发展的基本方法主要有5种：行为主义方法、新数学？方法、结构主义方法、形成方法和一体化教学方法，每种方法都有自己的假设或原理、操作或任务、特色或内涵。
　　（一）行为主义方法
　　这一方法的假设或原理是：任何学习过程都可以用一个（或一组）刺激-反应模式来加以描述，学习过程可以从拟定适当的刺激-反应程序开始，而且学习过程的成果可以“物化”为观察得到的行为上的变化；其操作或任务有：由于表达为行为的目标必然是抽象水平很低的，所以对复杂目标进行操作时，必须特别加以注意，对引向复杂目标的基本目标的探索研究，叫做“任务分析”或目标的“操作”。这样拟定和组合目标的任务，在以行为主义为重点的课程发展中显得格外重要。目录、表格和分类法，都可以为实现这一任务带来方便；其特色或倾向有：行为主义方法的目的是改进学习，即通过改革教与学的方法，实现一种更为有效的数学教育。这种方法优点在于内容的完美组织，整个教学过程从一些确定的起点（即一些明确的小目标）出发，向既定的大目标逐步发展。另外，这种方法本身虽然并不涉及具体内容，但是为了提供一套具体课程，必须给出形式合适的内容。
　　（二）新数学方法
　　这一方法的假设或原理是：对数学课程内容可以在现代数学结构的大观念框架下重新作系统的阐述，通过把内容加以重新组织以强调结构观念，同时提供一种非常精确的统一的数学语言；其操作或任务有：新数学方法是一种组织数学课程内容的方法，它只问方法应当如何，而不问现行的中小学数学教学实践是怎样的，更确切地说，它是建立在通过授课、教学来传递数学课程内容的基础上的；其特色或倾向有：把数学课程的改革理解为内容的更新，数学课程的发展就是重新组织数学课程的内容。
　　（三）结构主义方法
　　这一方法的假设或原理是：“学科结构”通过“螺旋式课程”的展示过程，在很大程度上使得科学结构与认知结构取得一致，同时也促进学生的认知过程。其要点在于如何将这些科学结构传递给处于较低认知结构状态的学生。？布鲁纳认为“螺旋式课程”理论也可以理解为推广和抽象，即便概括、推广的内容中只有一部分是能被领悟到的，同时进一步指出，学习者通过对事实的直观把握，是能够对自己的知识状态作出预期的。？最后，实现科学结构与认知结构取得一致目标的途径是“发现学习”，它同时既是手段又是目的；其操作或任务有：课程发展的主要任务，为这些作为基础结构体现的发现过程设计引人入胜的、富有意义的教学模式。在较低的认知水平，学生是通过周围环境依靠经验去发现数学对象的。？随后他们就会逐步地学会分析思维和应用公理方法来解释、分析数学结构。而且？螺旋形的模式使同样的对象得以周而复始地出现在更高的认知水平上。数学对象本身仅仅起到例子的作用，？它们的地位是次于过程、方法和工作程序的。？作为学校数学基础的科学概念，并不是业已竣工的数学大厦，面是逐渐建成的过程，重点是整个组织的形成过程；其特色或倾向有：从数学“学科结构”这一理论出发，数学学科的科学结构以一种最令人满意的方式促进了学习过程，从把课程改革重点置于科学学科结构之上由果溯因逆推地提供了基础。螺旋式上升的课程，保证了从最低水平向较高水平的进展。
　　（四）形成方法
　　形成方法的确立是跟具体学科无关的。它的假设或原理是以下两个假设：一是学校教育目的是赋予学生在认知能力以及情感态度和动机形成态度方面的一种最理想的基础；二是以上这些因素都可以通过包含心理学家、心理测验专家、社会学家以及其他人所认为、所描述的创造能力、“智力”？以及行为动机的个人性状来描述；其操作或任务有：通过对学生在认知能力以及情感态度和动机形成态度方面的这些因素或能力的科学分析得出，可用细致的计划来帮助它们成长，促成这种成长的方法和内容不是由科学的结构而是由个人发展的结构来决定。课程发展工作者的任务，就是发现并适当配置内容和方法，使之尽可能适应这些因素，促进它们的发展；其特色或倾向有：通过对活动在智力成长过程中的作用，对儿童诸如空间、时间、因果关系等思维发展过程的研究，以及通过确定和描述逻辑一数学结构的尝试，给教育工作者以指导；个体的研究在这里起着前所未有的重要作用；创造让儿童从事“现实活动”的情景，并把这种活动转化为学习过程；应用形成方法的主要是那些有关初等学校教学的方案。
　　（五）一体化教学方法
　　这一课程论方法是与形成方法在同一时期，并在相同的认知理论基础上发展起来。其假设或原理是：这一方法不仅涉及教学方法问题，而同时也对内容问题加以考虑。教学内容应由适应学习者的个性发展的相同意向所决定，一体化教学方法的方法论基础正是建立在这一意向的基础上的，这样从现实中提取的问题将决定教学的内容；其操作或任务有：正如组织学习的过程要考虑到学生认知水平发展的需要一样，学习内容的选择也必须适合学生的兴趣和需要；解决问题的进程，从发现学习的意义上来说，通过侧重应用的认知方法和遍涉不同学科的处理方式而提高了它的价值；其特色或倾向有：几个学科的处理方法与观念的相互作用，将会在解决问题的阶段起决定性的作用；由于这个缘故，一体化教学方法取消了教学科目的划分，把这些科目按现成问题的需要进行一体化的处理；在这种课程论方法中，数学的作用是提供将数学体系与现实情况相联系的模型并使之数学化；数学观念的现实背景，成了教与学两方面过程的主题。
　　三、数学课程发展方法的要素及其分析
　　数学课程最根本的是为了帮助学生更好地学习数学科学，在数学学习与教学最基本的情境下，实现数学科学的最大育人价值。因此，数学课程发展方法离不开数学学科、学习者（学生）、数学学科怎样和学习者建立关系三个基本要素，以下具体阐述这三个要素并尝试对以上5种数学课程发展方法进行考察。
　　（一）数学课程发展方法的要素
　　1. 与数学学科的关系
　　数学课程发展方法与数学学科的关系瞄准的是数学的哪些方面。中小学数学课程无疑来源于数学学科的内容，并不是所有的数学学科内容都可以作为课程内容，其内容的选择主要决定于社会需要、内容特点和学生的认知发展，除了数学学科内容的选择之外，还有数学学科内容的组织和呈现等方面。数学课程发展方法首先要取决于数学学科内容。
　　2. 与学习者（学生）的关系
　　数学课程发展方法与学习者（学生）的关系瞄准的是学习者的哪些方面。学习者掌握数学课程内容，要受到一些条件的限制，这些条件限制主要与学习者的认知水平、已有经验等方面具有密切的关系。数学课程发展的效果很大程度上取决于学习者的数学学习水平。
　　3．数学学科怎样和学习者建立关系
　　怎么样才能算学生已经掌握要求的数学知识，这是一个学习结果的要求和期待问题。学习者与数学建立了怎样的关系，即通过学习者的哪一方面的经验或知识与数学学科的哪一方面或者哪一部分内容建立联系，这是每一种数学课程发展方法都需要回答的问题。
　　因此，数学课程发展方法主要涉及到它与数学的哪些方面相关、与学习者的哪些方面相关、与学习者与数学建立关系的方法类型形式3个要素。
　　（二）基于要素的各种数学课程发展方法分类分析
　　根据以上数学课程发展方法的3个要素，可以将上述5种数学课程发展方法进行分类，不仅可以更加明确清楚各种方法，而且更便于中小学一线教师做出选择。
　　1. 按与数学科学的相关性大小的分类分析
　　如果按与数学科学的相关性大小来分，可以分为三类：与数学学科内容直接相关的方法、与数学学科内容间接相关的方法、与数学学科内容相关性不大的方法。
　　与数学学科内容直接相关的方法。这一类方法有新数学方法。它借助新的数学观或者数学思想方法，重新对数学学科内容做新的组织，对学习者来讲，与数学建立的关系是强制被动的，主要通过系统结构性的数学语言实现。这一方法与学习者个人相关性最小，与学科相关性最大。
　　与数学学科内容间接相关的方法。这一类方法有结构主义方法和一体化方法。结构主义方法主要采用数学学科整体结构模型，通过促进学生已有的认知结构而建立，这一方法要通过学习者的认知结构，与学科结构的科学结构有关。一体化方法主要结合个性发展相同意向的不同问题匹配各种合适的具体数学模型，主要是通过促进学习者的个性发展而实现数学学习，这一方法主要通过学习者的个性发展，与学科有关。
　　与数学学科内容相关性不大的方法。这一类方法有行为主义方法和形成方法。行为主义方法主要通过改变数学学习与教学行为的刺激-反应而实现数学学习，学生学得的是有关反映数学课程的行为表现行为，与数学相联系的方式是与数学有关的学习者行为，通过改革教与学的方法，实现一种更为有效的数学教育。这种方法本身虽然并不涉及具体内容，但是为了提供一套具体课程，必须给出合适的内容，这些内容应划分为任务和练习，而且能对每一步骤作出即时的评价，同时要求清晰的系统性，以及明确而有条理的组织形式。；形成方法主要通过个人发展的结构创造情境而促进数学学习，学生获得的是发展，其中对个体的研究起着前所未有的重要作用，成为这个教育过程的一个有机组成部分，而皮亚杰？的研究又表明数学起着至关重要的作用，因此，这里数学发挥的是整体育人作用。
　　2.按与学习者关系的远近分类分析
　　如果按与学习者关系的远近可以分为三类：与学习者最近的方法、与学习者关系平常的方法、与学习者最远的方法。
　　与学习者较近的方法。这类方法是从学习者内部出发考虑的，特别考虑到学习者的个人与个性。在上述5种方法中形成方法和一体化教学方法（个性发展的相同意向）就是这种方法。形成方法需要根据个人的发展结构，匹配个人本阶段数学学习发展所需要的内容和方法，使之尽可能适应学习者的认知能力以及情感态度和动机形成态度这些因素，促进它们的发展；一体化教学方法是从适应个性发展的教学内容和方法出发，内容选择考虑学习者的兴趣，方法考虑学习者的水平，同时依靠数学观念的现实背景，提供将数学体系与现实情况相联系的模型，这样从全面综合视角促进学习者的数学学习。
　　与学习者最远的方法。这类方法肯定也是离学科最近的方法，那就是新数学方法，它主要建立在通过授课、教学来传递内容的基础上，因此对学习者的情况考虑不多，这类方法是与学习者最远的方法。
　　与学习者关系平常的方法。这类方法主要考虑到学习者外部的因素。符合这一标准的有行为主义法和结构主义方法（数学对象本身仅仅起到例子的作用）两种方法。行为主义主要关注学习者个人学习数学后的外在行为，根据外在行为判断、调节和控制学习者的数学学习行为；结构主义方法是通过寻找数学科学的学科结构与个人认知结构的关系，然后在此寻求一致关系的基础上促进学习者的数学学习的。
　　3. 按“数学学科怎样和学习者建立关系”分类分析
　　如果按“数学学科怎样和学习者建立关系”可以分为三类：以学习者为主的方法、以数学学科为主的方法、有中介载体的方法。
　　以学习者为主的方法。这类方法是以学习者个人发展为出发点的方法。数学学习的根本目的就是为了促进学习者的发展，形成方法就是从考虑学习者个人发展出发，通过对活动在智力成长过程中的作用，通过确定和描述逻辑一数学结构的尝试，给教育工作者以指导学习者的数学学习的数学课程发展方法。
　　以数学学科为主的方法。这类方法肯定也是离数学学科最近的方法，即上述的新数学方法，这种方法融入了现代数学发展的大观念，依据大观念重新组织已有的数学课程内容，然后通过授课、教学来传递，从而达到促进数学学习者的数学学习的。
　　有中介载体的方法。这类方法能找到稳定的中介物与数学学科相联系，当然中介物也要与学习者相联系。上述5种方法中的这类方法有行为主义法、一体化教学方法和结构主义方法（科学结构和螺旋式课程）。行为主义法的中介载体是个人具有学科特征的行为，通过这种行为来判断数学学习者的过程和学习状态的；一体化教学方法的中介载体是数学模型，通过与现实情况相联系的数学模型并使之数学化从而建立数学体系；结构主义方法的中介是数学学科的科学结构，通过这一结构与学习者的认知结构相联系，进一步通过螺旋式课程使学习者的认知水平达到提升。
　　四、适合中小学教师使用的数学课程发展方法及其实践运用分析
　　在每次课程改革中的传播阶段，教师都是数学课程发展的主力军，因此，教师的数学课程发展能力就成为制约基础教育数学课程改革的重要方面，其中数学课程发展方法成为基本的出发点。什么样的数学课程发展方法适合一线教师呢？在前述研究基础上，就可以针对中小学一线教师情况做出选择。
　　（一）数学课程发展方法对中小学一线教师使用的可行性分析
　　通过不同标准对数学课程发展方法的分类及其分析，可以更加明确每种数学课程发展方法都各有自己的特点，也有自己的优势与不足。下面针对中小学一线教师的实际情况，分析使用的可行性。
　　1. 首选的方法分析
　　首选的方法注重可行性和长远性。5种方法中，可行性最大的当属行为主义方法，而长远性最强的方法则是结构主义方法。
　　行为主义方法的可行性分析。行为主义方法是最基础最具有普及性的数学课程发展方法。这一方法主要盯准了学生的学习外显行为的变化。要做到这一点重要的是经验和观察，虽然也需要一些教育心理学的理论，但这些理论与中小学的经验比较密切，而且容易在短时间内掌握，更为重要的是，行为主义法具有最强的具体可操作性，所以，这种数学课程发展方法对中小学一线老师是比较适合的。加之，通过新一轮基础教育数学课程改革，许多中小学一线教师在这方面都是有一定基础的。
　　结构主义方法的可行性分析。结构主义方法是针对数学科学中介的数学课程发展方法，这一中介就是皮亚杰所论证的结构主义。数学科学本身具有相当的难度和广度，一般一线数学教师很难把握，从一般性的通用普适视角来考察，找到能够适合中小学数学教师的数学课程发展方法很有必要。皮亚杰发生认识论中的结构主义成为理想的选择，结构主义的数学课程发展方法通过将抽象难度较大的数学内容与通过多次学习能够接受的数学学科结构相结合，而这些数学学科的结构又可以通过其它难度较小的学科知识学习所获得，从而实现学习者的数学学习。在这方面，中小学一线数学老师是有很好的支持条件的，比如有一定的数学学科知识和能力基础，有较为丰富的其他学科和一定的综合知识基础。
　　整理上来讲，对中小学一线老师来讲，行为主义方法和结构主义方法是比较适合的方法。
　　2. 值得挑战一试的方法分析
　　一体化方法集内容与方法于一体，同时又关照到学习者的个人意向，具有相当程度的综合性，所以对学习者意义极大，是中小学一线教师值得挑战一试的方法。
　　一体化方法的可行性分析。这一数学课程发展的方法具有内容和方法的一体性，“这一方法并不仅仅停留在教学方法的阐述，而同时也对内容问题加以考虑”，在这种课程论方法中，数学的作用是提供将数学体系与现实情况相联系的模型并使之数学化。数学观念的现实背景，成了教与学两方面过程的主题。一体化教学方法的方法论基础建立在教学内容应由适应学习者的个性发展的相同意向所决定这一意向的基础上，它在不同情境下（熟悉、关联和综合三种），能够发掘和开发不同水平不同领域的数学问题。
　　3. 不建议选择的方法分析
　　不建议的方法是指具有一定局限性的方法，新数学方法受制于数学学科的影响，在视野和育人方面存在不足；而形成方法则只关注学习者的个人发展结构，不适合群体性的班级授课制，而且对数学课程的内容也只限制在初等水平。
　　新数学方法的可行性分析。新数学方法是针对数学科学的数学课程发展方法。数学课程内容来自于数学科学的丰富内容，这其中既有对数学课程内容选择的成份，又有对课程组织的问题，还有课程的呈现，无论是选择、组织，还是呈现，都要遵照数学课程的属性和结构。这里针对数学科学的数学课程发展方法指的是根据现代数学的发展梳理出的函数、集合论、群论等数学科学大观念，对原有的数学课程内容进行较大的改变，这种方法由于对数学学科专业要求较高，特别是需要对整个数学科学既要有全面宏观的把握，又要有对数学科学发展趋势的深入思考，这些对中小学一线教师困难很大，因此这种数学课程发展方法不适合一线中小学数学老师，而是适合具有数学科学研究背景的数学课程改革专家选择使用。
　　形成方法的可行性分析。针对学习者个人的有关因素进行适应性提升的形成方法。虽然这种方法主要以表面的及时反馈的互动式教学为表现形式，在一般教学法中表现为交往教学论，同时也以表现性评价的形式在数学课堂中得到反映，但是由于对认知能力以及情感态度和动机形成态度这些因素或能力的科学分析，将通过细致的计划来帮助它们成长，而促成这种成长的方法和内容，是由一线中小学教师较难把握的个人发展的结构决定的，个人的发展结构需要对中小学生的群体和个体发展有专业的了解和研究，而这些对中小学一线教师来讲，几乎是不可能的。何况这种方法还要求发现并适当配置内容和方法，使之尽可能适应这些因素，促进它们的发展。因此，这种数学课程发展方法对一线中小学老师来讲是很不适合的。
　　通过以上分析可见，新数学方法和形成方法在各自的专业范围内相对要求较高，对中小学一线教师来讲相对较为困难。而行为主义法和结构主义法对中小学一线教师来讲是比较适合的，而一体化法虽然具有一定的挑战性，但相对来讲是值得中小学一线老师进行挑战尝试的数学课程发展方法。因此，这里推荐的适合中小学一线教师的课程发展方法主要有三种：行为主义法、结构主义法和一体化法。
　　（二）适合一线中小学教师的数学课程发展方法的教学实践运用分析
　　当前中小学一线数学教师个体的专业发展水平仍有较大的差异，但是由于以学校教研组为单位组织仍可以推广普及一定水平的数学课程发展水平，因此需要对以上3种数学课程发展方法进行简单的优化改进，以适于一线教师的运用和深入推进数学课程改革，同时也有助于巩固数学课程改革的成果，而且这些数学课程发展方法也是当前素养教学为本的数学教学所非常需要的。由于中小学一线老师运用的实践逻辑就是高度重视可操作性，也许以前有类似的无意识运用，但在素养为本的教学背景下，更需要有理论指导下的有意识运用，因此下面就每一种方法分必要准备、操作要点和注意事项三个方面分别阐述。
　　1. 对行为主义方法的教学实践运用分析
　　行为主义方法是目前应用最广、最值得推行的数学课程发展方法，并且在新一轮数学课程改革中得到进一步传播发展的方法，它在本质上是改变学与教的方法，以追求有效的数学教育，其核心是通过任务分析法将复杂的目标分解为简单的目标并从行为上判断是否实现，前期的目标教学、当前追求的可视化教学是它的重要形式，这种方法的最大优点是在于内容上的完美组织，其中涉及到目标、内容、方法和评价等。。
　　必要准备。选择合适的数学内容，预设学生学习数学课程内容后的变化，主要是行为表现；然后将这些内容与学习者的行为相结合，分解为可判断是否达成的小目标或者任务。
　　操作要点。这一方法从操作上强调简单的入手点、复杂结果的行为表现、如何由简单到复杂达成综合目标以及数学学科内容如何介入等方面。它的操作主要有如下几步：一是选择某一数学课题，确定教学目标，并把目标可操作和可行为化；二是对目标结合课题内容进行任务分析，设计一系列学习任务，并根据这些任务选择有关这一课题的学生的一系列外在行为表现每一个分解的任务对应一个分解的分目标，每个分目标通过若干个别的、分离的刺激来实现；三是利用目录、表格和分类法等方法，对各分目标进行叠加，或者构制成一个精心安排的、尽可能以经验为基础的序列；四是将各分目标进行分别实施，并且根据情况灵活组合，确保整体教学目标的实现；五是对教学结果进行评价，提出改进的建议与措施。在这些步骤中，学习目的（目标）决定了预期的行为变化，而这种行为变化又是可以加以检验的。因此，学习过程的成功与否，受到目标的控制，而表达为行为变化的目标则是容易得到证实的：简单目标通过若干个别的、分离的刺激来实现，复杂目标则过简单目标的叠加来实现，但其中的这些简单目标必须构制成一个精心安排的、尽可能以经验为基础的序列。对引向复杂目标的基本目标的探索研究，叫做“任务分析”或目标的“操作”。对复杂目标进行操作时，必须特别注意表达为行为的目标必然是抽象水平很低的，所以拟定和组合目标的任务，在以行为主义为重点的课程发展中显得格外重要。目录、表格和分类法，都可以为实现这一任务带来方便。常见的要求是把数学课程内容划分为任务和练习，对每一步骤作出即时的评价，内容的整体应具有一种清晰的系统性，以及明确而有条理的组织形式。
　　注意事项。清晰、可视化、可检测。这种方法本身并不涉及具体内容，但为了提供一套具体课程，必须给出合适的内容，其主要特征在于内容上的完美组织：它对教师、学生和校方都大有帮助。整个教学过程从一些确定的起点（即一些明确的小目标）出发，向既定的大目标逐步发展，这样就为教师掌握学生的进度提供了方便。同时这也有助于教师把握自己的工作并随时作出必要的修改。学生所得到的是（理论上）清晰而不含糊的指导，对他们的控制系统是明确的。校方在选择教材时也没有什么麻烦。这样的方法可以用在每天的课堂教学中，但要注意的是，每节课的目标实现并不意味着整体复杂目标的实现。
　　2. 对结构主义法的教学实践运用分析
　　这种方法在数学课程发展中主要以发现式教学或探究式教学推行的模式或方法。从思想上说，其核心是学科结构；从设计上说，主要的是螺旋式课程设计。与此相关的有教育心理学中的先行组织者策略、探究教学或者发现式教学。其核心是学科结构和螺旋式课程，即首先找到与数学对象同构的相应物，然后在此基础上设计学生不断提高结构认识水平的学习环节序列。它在本质上是教学模式，最终追求科学结构与认知结构取得一致，最终通过学科结构理论和螺旋式课程设计以及数学对象认识水平的不断提高达成目标。
　　必要准备。找到所选课题的数学对象结构原型，预设原型与数学对象结构的对接点。
　　操作要点。这一方法的要点在于低水平的起点、高水平的追求、如何由低水平达到高水平以及数学的介入方式。这一方法中数学课程发展的主要任务，？就是为这些作为基础结构的体现的发现过程设计引人入胜的、富有意义的教学模式。主要有如下几步：一是选择合适的课题，并寻找与该课题相关的学科结构；二是螺旋式课程实施的设计，确保同样的数学对象得以周而复始地出现在更高的认知水平上，保证从最低水平向较高水平的进展；三是设计各种方式，多途径实现科学结构与认知结构取得一致；四是梳理发现的过程。特别需要指出的是，该方法运用的核心是设计学生不断提高结构认识水平的教学序列。借助学生的生活经验构造学生发现数学对象的原型，在此基础上逐步地学会分析思维和应用公理方法来解释、分析数学结构，借助螺旋式模式，使得同样的数学对象得以周而复始地出现在更高的认知水平上。螺旋式上升的课程，保证了从最低水平向较高水平的进展。？在较低的认知水平，学生是通过周围环境依靠经验去发现数学对象的。？随后他们就会逐步地学会分析思维和应用公理方法来解释、分析数学结构。而且？螺旋形的模式使同样的对象得以周而复始地出现在更高的认知水平上。数学对象本身仅仅起到例子的作用，？它们的地位是次于过程、方法和工作程序的。？作为学校数学基础的科学概念，并不是业已竣工的数学大厦，而是它逐渐建成的过程，重点是整个组织的形成过程。
　　注意事项。一是注意这一方法的关键是循环往复过程达到从低认知水平到高认知水平的跨越；二是数学对象本身仅仅起到例子的作用，？它们的地位是次于过程、方法和工作程序的。？作为学校数学基础的科学概念，并不是业已竣工的数学大厦，面是它逐渐建成的过程，重点是整个组织的形成过程；三是应用这种方法是逐步推进的。作为要做的最低限度，当前应该都能做到了，比如把问题的来龙去脉或者解决问题所需用到的知识交代明白，同时当然也要把问题本身叙述清楚，“在帮助学生去发现这一点上，通常还应当做得更多些：在学生并未掌握所需概念的情形下，教师首先应当准备引进这些概念；教师还应当通过讨论的方法让学生注意到某些说法不对在哪里，并在学生发现结果时把这些结果叙述清楚。教师不应当让‘享受成功喜悦的时刻’在不知不觉中溜过去”；四是要注意每一课时都应用这种方法是不现实的，但可以在适合的课时教学中尽可能多用。
　　3. 对一体化教学方法的教学实践运用分析
　　这种数学课程发展方法主要以课题学习、综合实践活动、数学建模等内容方法一体化整合形式在中小学一线数学教学中得到表现和反应。同时以开放题教学、问题解决教学、项目教学以及综合实践活动，甚至是STEAM的形式出现，其基本单位是课程学习单元。
　　必要准备。注意提前收集积累学生感兴趣多学科材料，同时也要有必要的多学科知识的准备。正如组织学习的过程要考虑到学生认知水平发展的需要一样，学习内容的选择也必须适合学生的兴趣和需要。这就是说，凡是跟个人生活和职业有关的实际需要和现实问题，无论是目前的还是将来的，都应予以考虑。从现实中提取的问题将决定教学的内容。这样的问题和问题组，一般不可能局限于个别的学校科目，也不可能依靠某一学科的教材、概念和有关知识来加以解决。几个学科的处理方法与观念的相互作用，将会在解决问题的阶段起决定性的作用。
　　操作要点。这一方法的操作要点在于问题的提取、问题解决的多学科融合、问题价值如何提高的以及数学的介入等方面，其操作主要有如下几步：一是针对数学课题选择学生的有关现实情境；二是针对现实情景，引导学生自己完成确定问题这一步；三是设计课程单元，使之具有足够的灵活性，保证有大量通向（以及来自）某一问题的途径可供选择，以便做好学习的进程的预设，确保由学生自己来控制学习进程；四是发现并适当配置由个人发展的结构决定的内容和方法以形成细致的计划，使之尽可能适应认知能力以及情感态度和动机形成态度方面（个人性状中的创造能力、“智力”？以及行为动机）这些因素，从而促进它们（认知能力以及情感态度和动机形成态度方面）的发展）；五是实施计划；六是对整体计划的实施进行回顾和评价。这些操作中，决定成败的是第四步适当配置由个人发展的结构决定的内容和方法以形成细致的计划。
　　注意事项。教学的内容由从现实中提取的问题决定；几个学科的处理方法与观念的相互作用，将会在解决问题的阶段起决定性的作用需要把这些科目按现成问题进行一体化的处理，其解决问题的进程通过侧重应用的认知方法和遍涉不同学科的处理方式而提高了它的价值；在这种课程论方法中，数学的作用是提供将数学体系与现实情况相联系的模型并使之数学化，数学观念的现实背景，成了教与学两方面过程的主题；确定问题这一步必须是由学生自己完成的，学习的进程能由学生自己来控制。这种方法可以以课程单元为单位推进，并不是每一课时都可以采用采用这种方法。
　　五、结束语：决策者的数学观和数学教育教学观决定中小学一线教师的方法选择
　　教师的参与是决定数学课程改革真正落地生根的主要内部因素，教师凭着对数学课程发展方法的掌握发挥对数学课程改革的应有作用，中小学一线教师掌握数学课程发展方法的水平高低也在一定程度上反映了数学课程改革成效大小。“对学校数学课程发展的实践和管理而言，关键的内部因素就是革新者对数学本身，以及对为什么要在中小学教数学的总体看法”。这里的革新者其实是是数学课程改革的决策者。如果认为数学就是为了实用目的而获得的一套知识，那么课程发展的实践和管理就会以有效地获得这些知识作为目标，这时中小学一线教师所需要的数学课程发展方法更主要的就是行为主义方法；如果认为数学本身有其重要性和特有的魅力，那么课程发展就会更多地依仗对数学持这种观点的专家学者们的努力，而且会让学校的教师们也认识到这一点，制订全面的、综合性的改革纲要是出发的目标，这时中小学一线教师所需要的数学课程发展方法更主要的就是结构主义方法；如果认为数学因其在别的领域的应用而有价值，那么课程发展的实践就会围绕可以“插进”现行教学计划中去的课程“单元”而进行，其实是从应用着眼制订完整的新大纲，这种做法很少见，这时中小学一线教师所需要的数学课程发展方法更主要的就是新数学方法；当课程发展工作者更关心的是学习数学的过程，而不是数学知识本身时，他们就会设法把教师同时纳入两条轨道：一方面自己学习数学，另一方面为学生编制一套数学课程，这时中小学一线教师所需要的数学课程发展方法更主要的就是形成方法或者一体化教学方法。
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　　作者简介：郑庆全，1972年生，男，山东蒙阴人，教育学博士，淮阴师范学院副教授，主要从事数学教育、教师教育和基础教育研究。