【正文】  植树问题是人教版《数学》五年级上册“数学广角”的内容，教材一直将点数与段数的关系作为一种模型加以呈现。在本节课学习中，学生要在段数、点数、棵树、间隔距离等词中反复徘徊，很多时候凭借记忆记住三种类型及其计算公式：两端都种“棵树=间隔数+1”，一端种“棵树=间隔数”，两端都不种“棵树=间隔数—1”。在解决实际问题过程中，将眼前题目与脑海中的公式进行配对，匹配成功后选择相应公式进行解答。看似水到渠成的运算，在学生实际运算过程中却常常“翻车”。由此可见，植树问题怎么教，简单记忆公式效果微乎其微。下面以俞正强老师执教的植树问题为例，与大家谈谈个人不成熟的想法，恳请大家批评指正。
　　一、巧用情景对比 产生认知冲突
　　教学片断（一）复习旧知
　　师：20米，平均每5米分一段，分几段？
　　生：20÷5=4。
　　师：为什么用除法？
　　生：平均每5米分一段。
　　师：平均分的事情，所以用除法。（板书：平均分）
　　教学片段（二）探究新知
　　师：20米路，每5米种一棵树，共种几棵树？
　　生：20+5=4。（学生上台在黑板上的线段中摆植树的情况）
　　（一组火车开下去，全部同意。全班只有1人不同意。）
　　生：第1段要种，所以要加1，种5棵树。教师故意愣哪儿，装作听不懂。
　　师：你听得懂吗？我们都是4棵，他偏偏说5棵。你懂吗？
　　生：不懂。
　　生：就是从第0米开始就要先种一棵。
　　师：他说第0米开始就要种一棵。是吗？
　　师：你现在支持4棵还是5棵？
　　生：5棵吧。
　　师：为什么5棵？
　　生1：不知道。
　　生2：5棵。0上面也要种一棵。教师出示草图种5棵。
　　师：（边说边移动学生所摆的树到点上）通常我们也可以把树种在点上。
　　师：我们这么多同学，就这一个同学做对了。你们有什么问题问他吗？
　　生：没有。
　　师：我有。我们都是4棵，你怎么5棵？
　　生：我看过一本书，那里面就是5棵的。
　　师：他看过一本书。你看过吗？
　　生：没有。
　　师：同学们，几棵树？
　　生：5棵树。
　　师：这两道题目一样吗？不一样在哪里？
　　生：前面问种几棵树，后面问种几段。
　　师：几段与几棵不一样吗？（板书：段与棵）
　　生：几段是平均分。
　　师：那几棵呢？
　　生1：不知道。
　　生2：一样。
　　生3：棵是以一个为单位的，段是两个单位之间的。
　　师： 这么复杂，你听得懂吗？
　　生： 听得懂。棵是一个点，段是两个之间的那一段。
　　师： 平均分是一段一段的，种树是种在哪里的？
　　生： 点上。（师板书：点）
　　师： 这两题一样吗？
　　生： 不一样。
　　师：几段、几棵有什么不一样呢？
　　生： 段是指两个点之间的部分。
　　师： 种树是种在段上还是段与段之间的点上？
　　生： 种在段与段之间的点上。
　　师： 段与点之间的差别是什么？
　　生：1段2个点。
　　师：2段几个点？
　　生：3个点。
　　师：那点和段有什么联系？
　　生：点比段多1。（师板书：棵（点）=段+1）
　　师：植树植在点上，所以要在段上面加1。追问：？100米呢？？40米呢？？50米呢？
　　俞老师巧妙地将两道例题进行对于，并提问学生“那这两题一样吗？”“不一样在哪里？”“几段和几棵有什么不同？”等一系列问题，激化学生的认知冲突，此时学生只知它们不同，却很难说出具体哪里不同。但学生通过这三个问题的思考，可以直观感受到数是种在点上的，而段表示的是两点之间的部分。俞老师借助这一环节的设置渗透了一一对应的数学思想，点与段一一对应，只是最后还多一个点，因此加1。
　　二、学生主动建构，渗透模型思想
　　R柯朗和H罗宾在《什么是数学》中指出：“毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少的是基于实际的。但这一理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免的会使它自身获得发展的动力，并超越直接实用的局限。”这种从应用科学到理论科学的发展过程，使得建模思想不断得到重视。特别是在理科学习方面，模型思想更是起到至关重要的作用，因此小学阶段就不断进行建模思想的渗透，植树问题就是渗透建模思想的一个重要课题。
　　教学片段（三）建立模型
　　师：树要种在点上，那还有什么人做什么事也是要放在平均分的点上呢？
　　生： 会场上专家位置上的杯子。
　　生： 工人打地基，每隔几米打一个桩。
　　生： 种花、摆花。
　　生： 路灯。
　　生： 盖房子。
　　生：钉扣子。
　　师：100年里，美国每4年出一个像奥巴马一样的总统，总统是树吗？
　　生：不是，但我们可以想象成树。
　　俞老师的课程使学生明白树种在点上后，进一步提问，还有什么人做什么事是种在点上的？这一过程俞老师与学生一起联想生活中还有什么问题与植树问题相似，启发学生进行主动建模。数学模型从情境中来，还要回到情境中去。
　　三、把握课程根基，降低理解难度
　　针对教学设计而言，大部分教师的设计基本是两种思路，一种是将“两端都种”作为基本模型，然后将“一端种树”“两端不种”作为变式训练。还有一种是将三种模型同时出现，经过大量的教学实践，显而易见将三种情况中一种情况作为基本模型，更符合学生的认知水平，同时扎实掌握一种模型，能帮助学生更顺利的进行其他两种类型的探索。
　　尽管将一种模型作为基本模型进行探索基本达成共识。但究竟是“两端都种”还是“一端种树”还存在不同意见。有学者和教师认为将“一端植树”作为切入口，可以更好的抽象出“点与段”的一一对应关系，即点数=线段的条数。这确实是大部分同学很容易想到的方法，这种方式化繁为简，学生能更好的利用画草图的方式探索答案。但经过思考和实践后发现，如果我们在不改变植树问题这一前提下，一端植树很难具有现实说服性，生活中我们见到的路两旁种树，都是两端都种的情况，因此教学设计中将“两端都种”作为切入口更具有现实意义。
　　俞老师将“两端都种”这一问题设置在平均分问题之后，更是埋下“特殊的用除法解决问题的”伏笔。通过多年的实践研究，俞老师及其团队更倾向于将植树问题定位为“特殊的用除法解决问题”，之前很多题目求出的商就是正确答案，而将“点数=间隔数+1”作为基本模型，更突显了这种题型与除法之间的关系和区别。