——一次函数的图象（1）教学分析

  【摘 要】 整体把握教学内容对促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展具有重要意义。初中数学教材对于函数的研究由一次函数到反比例函数再到二次函数，在教学中要保持研究方法的一致性，积累函数研究的经验，促进学生有序思考。
　　【关键词】 整体观念；正比例函数图象；积累研究经验

　　章建跃教授指出“数学教学要明确基本套路，增强教学的整体性”；“整体把握教学内容对促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展具有重要意义。”笔者所在学校本学期的校本教研主题是：单元整体分析下的课时精细化设计。在单元整体分析的视角下，教研组确定课例：北师大版数学八年级上册第四章一次函数第3节：一次函数的图象（2），在研讨过程中发现，要想对一次函数的图象研究渗透一般方法，一次函数的图象（1）：正比例函数的图象与性质是关键，从而引发对一次函数的图象（1）的研讨，下面展示两次的教学设计：
　　第一次设计（初备）：
　　环节一：复习回顾，做好知识储备：一次函数与正比例函数的概念。
　　环节二：出示概念，规范画图：
　　1.把一个自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
　　2.画出正比例函数y=2x的图象。列表，描点，连线，得到一次函数的图象是一条直线的结论，进而总结两点法画正比例函数的图象。
　　环节三：熟练画图，总结性质：
　　1.在同一直角坐标系内画出正比例函数y=x，y=3x，y=-■x，y=-4x的图象。
　　2.结合图象归纳总结：（1）上述四个函数中，随着x值的增大，y的值分别如何变化？
　　（2）随着x值的增大，哪一个y的值增大（或减小）得更快？
　　问题（1）归纳出正比例函数的增减性；问题（2）归纳出k的绝对值越大直线越陡，相应的函数值上升或下降得越快。
　　环节四：熟练性质，巩固练习：
　　1.下列函数图象过一 ，三象限的有（ ）
　　A.y=-2x     B.y=-3x C.y=4    D.■x
　　2.下列正比例函数中，y的值随着x的值增大而减小的有（  ） 
　　A.y=8x   B.y=-0.6x   C.y=- x   D.y=■x
　　环节五：回顾思考，课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？
　　第二次设计（复备）：
　　环节一：复习回顾：函数的三种表示方法？（关系式法，图象法，列表法）
　　教师：被誉为“中国现代数学之父”的数学家华罗庚在一首小诗中曾经写到：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”。说明了数形结合的重要性。本节课我们就应用数形结合的方法进行研究学习。
　　环节2：经历过程，体会本质：
　　1.出示学生熟悉的图象，说明每个图象所表示的两个变量之间的关系。提出问题：这些图象是如何绘制出来的呢？







　　2.回顾第一节函数中摩天轮的情景，动画演示在每一具体的时刻对应的高度，将每一对对应值作为点坐标在平面直角坐标系中进行描点，足够多的点就形成了摩天轮上一点的高度h（米）与旋转时间t（分）之间的关系图象。







　　出示概念：把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
　　总结：画函数图象的方法：自变量的值与对应的函数值→点坐标→描点→连线。（由“数”到“形”）
　　环节三：理性认识，有序思考：一次函数y=kx+b的图象是怎样的呢？研究一个较为复杂的问题时，先从它的简单情形开始，我们先研究较为简单的正比例函数y=kx（k≠0）的图象。
　　1.画出正比例函数y=2x的图象。
　　（1）自变量x可以取哪些值？任意实数都列取出来吗？为了容易看出变化，自变量x的取值进行匀速取值，即间隔相同，都间隔1.
　　（2）将x、y的每一对对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。
　　（3）观察五个点的位置，你觉得应该如何连线？
　　（4）到底是不是用直线连接呢？我们来密集取点，在1-2之间，间隔0.2列表、描点。你看到了什么？接下来教师用几何画板展示更多密集的点（如图），直观观察得到是一条直线这个结论。
















　　总结：画函数图象的一般方法：列表，描点，连线。
　　2.画出正比例函数y=-3x的图象，在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证是否满足关系式； 
　　（1）满足关系式y=-3x的x，y所对应的点（x，y）都 在正比例函数y=-3x的图象上吗？
　　（2）正比例函数y=-3x图象上的点（x，y）  都满足关系式y=-3x吗？
　　结论：图象上的点与满足关系式的点一一对应。
　　3.正比例函数y＝kx（ k ≠0 ） 图象有何特点？你是怎样理解的？ 
　　教师：有学生说因为刚画了y=2x和y=-3x的图象是直线，所以正比例函数y＝kx（ k ≠0 ） 图象是一条直线，这样说显然是不对的。仅仅两个是不足以概括的。那么请大家思考：k可以取哪些值？每人任取两个不同的k值，画出相应的函数图象。
　　根据全班同学画出的不同k值的函数图象都是直线，可以归纳得出结论：正比例函数y=kx的图象是一条过原点的直线。
　　教师：既然正比例函数的图象是一条直线，那么如何更快的画出正比例函数的图象呢？学生交流讨论，明晰简便画法：两点法。画正比例函数的图象时，只要再确定一个点，过这点与原点画直线就可以了。
　　环节四：归纳共性，体会变化：
　　正比例函数y=kx（ k ≠0 ）中的参数k对函数有什么影响呢？我们可以取不同的k值画出图象进行观察。
　　1.你准备如何取k的值？为什么？（讨论交流，达成一致：k＞0和k＜0两种情形）
　　2.小组合作完成：四人中两人取k＞0的情形，两人取 k＜0的情形，各选取四个不同的k值进行画图。
　　3.交流：（1）随着x值的增大，y的值分别如何变化？（分别从“数”与“形”的角度解释）（2）函数图象分别经过哪些象限？（3）k＞0时，随着x值的增大，y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？k＜0时，随着x值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你能解释其中的道理吗？
　　教师几何画板展示（如图）：
　　k＞0时，随着k值由小到大的变化，图象越来越陡。k＜0时，随着k值
 　由大到小的变化，图象越来越陡。
　　总结：（1）在正比例函数y=kx中，k＞0时，y的值随着x值的增大而增大； k＜0时，y的值随着x值的增大而减小。
　　（2）k的绝对值越大，直线越陡，相应的函数值上升或下降得越快。








　　环节五：课堂小结，感悟方法：你能说说研究正比例函数图象与性质的一般方法吗？
　　教学分析：
　　1. 教学过程要渗透数形结合的数学思想。 “数”（解析式）如何转化为“形”（图象）？在对“函数图象”概念的处理上，改变了第一次直接告诉的方法，先回顾熟悉的函数图象，提出问题，再以上节课摩天轮的高度与时间的图象生成过程为例，得到一般的函数图象的生成路径。研究正比例函数的性质，如在讨论问题“随着x值的增大，y的值分别如何变化？”时，引导学生分别从“数”与“形”的角度解释，“数” 的角度可以参考表格、关系式，“形”的角度可以引导学生观察图象是上升还是下降。学生通过对函数图象的观察与比较，发展数形结合的观察、思考问题的意识与能力。
　　2. 教学过程要运用一般到特殊的研究方法。要研究一次函数y=kx+b（k≠0）的图象和性质，先研究较简单的正比例函数y=kx（k≠0）的图像和性质。这样安排体现了一种重要的研究问题、解决问题的方法，即当我们思考、研究一个较为复杂的问题时，先从它的简单情形开始。
　　3. 教学过程要采取合情推理方法确定函数的图象形状。对于正比例函数y=2x的图象是直线这一结论，是通过描点、点加密的过程来进行突破的。学生经历较少点到较多点的过程，教师借助“几何画板”来演示，学生体会、感知正比例函数图象是“直”的，这对初学函数图象的学生来说非常重要。这个过程对学生日后学习其它不再是直线型的函数图象，是很有好处的。当然，本节课对这一结论的处理采取的是合情推理。对正比例函数图象是一条直线，需不需要加以证明？笔者认为在本节课就不必了，学生对于三点共线的证明接触较少，不易理解，如果证明有偏离教学重点之嫌。我们实实在在的经历这一合情推理的过程就可以了。在后面的章节复习课中可以证明这一结论，促进学生的理性认识。
　　4. 教学过程中的归纳过程要充分。由y=2x，y=-3x两个特例不能归纳正比例函数y=kx（k≠0）的图象特征。教师要改变以往根据一两个例子就揭示结论的教学方式，注意引导学生经历通过大量的事实研究来归纳概括的过程。
　　5.教学过程中要让学生感悟参数对函数的影响。学生为什么觉得函数较难理解？首先有两个变量x和y，其次参数也是变化的。好不容易明白了xy之间的对应关系，当参数变化后xy之间的对应关系也随之发生变化。这种双重变化对于初次接触函数图象与性质研究的学生来说存在一定的困难。
　　以上五点是整体观念在函数图象与性质的教学中的体现。整体观念，就是要渗透研究数学对象的一般方法，也就是基本套路，以促进学生科学的研究数学方法观的形成。由一次函数到反比例函数再到二次函数，在教学中要保持研究方法的一致性，积累函数研究的经验，促进学生有序思考。在本节课进行改进的过程中，本组教师深入学习先进的教学理念，在交流中经历不同思路的碰撞，对数学教学的整体观念认识有了质的飞跃。
　　参考文献：
　　[1]章建跃. 数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017
　　[2]卜以楼. 生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M]. 西安：陕西师范大学出版总社，2018