——以《有余数的除法》为例

  【摘 要】 为了落实新课程标准的要求，践行双减政策，遵循学生的认知发展规律，小学低段数学教师要改变传统的教学思维和模式，利用数形结合思想教学，让学生不仅知其然，更知其所以然。本文基于有余数除法的课堂教学中存在的问题及应用数形结合思想的意义，依托人教版小学数学二年级下册第六单元“有余数的除法”的教学内容，从以形助数、以数解形两大方面探究数形结合思想在本单元教学中的应用策略。
　　【关键词】 数形结合；有余数除法；小学低段数学；应用策略

　　著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”这首诗表明了数与形相辅相成的关系，给小学数学教学指明了方向。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结构结合起来进行考虑，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路的一种思想。但是这种思想也要针对具体的教学内容，结合人教版数学二年级下册第六单元“有余数的除法”，笔者作了一些思考与研究，尝试从以形助数、以数解形两个内涵维度展开。以形助数一般是指借助图像的直观性来表达数式的数量关系，以形解数是指借助数式的精确化来刻画图像的某些属性。
　　一、课堂教学中面临的问题
　　当前部分学校的教师队伍偏年轻，缺乏教学经验和理论知识积淀，对数形结合思想了解较少且应用意识淡薄。加之大部分低段学生只追求做对而忽视过程及原理，所以部分教师在《有余数的除法》的课堂教学中主要以讲授、记忆为主，导致学习压力增大，学习效果不理想。部分教师虽然有应用数形结合思想的意识，但是通常是师用生听，课上课后都不让学生加以应用。
　　二、应用数形结合思想的意义
　　在课程基本理念上，要求让学生理解数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。数形结合思想是数学基本思想之一，所以将数形结合思想渗透到小学数学教学过程中是用数学思想指导教学的必要手段，也是达成课程改革目标的基本途径之一。 
　　双减政策要求提高课堂教学质量，减少作业量。通过“以形助数，以数解形”可以培养学生的数学核心素养、深刻解读并达到教材的编排意图，帮助提高课堂效率，助力落实双减政策。
　　符合儿童的认知发展规律。小学生的思维正处在由具体形象思维为主要形式逐步向抽象思维过渡的阶段，大部分学生的学习还需要以具体事物作为基础。数形结合思想是符合小学生认知发展水平的，将形象和抽象结合起来，为学生思维的过渡搭建桥梁。
　　三、应用数形结合思想的策略
　　（一）以形助数
　　1. 以形助数，有效建立概念。
　　小学低段学生对直观、具体的事物比较感兴趣，而对接受抽象的概念有一定的困难。数学概念、结论是抽象的，所以，在《有余数的除法》第2课时中针对“余数要比除数小”的概念教学，教师不能急于得出结论，让学生死记硬背，而是要“以形助数”，借助摆小棒、分草莓、画图等直观的形式，将抽象的概念形象化地展示出来，帮助学生从机械的记忆过渡到意义的理解，不仅理解“余数要比除数小”的内涵，也明白其外延“除数要比余数大”。以此达到熟练解题并能举一反三灵活解题：○÷□=8……5，除数最小是（），此时○表示（）；○÷5=8……□，余数最大是（），此时○表示（）。
　　2. 以形助数，深刻理解算理。
　　算理是极其抽象的原理，加大了教师的教学难度和学生的学习难度，可以通过“以形助数”得以解决。比如在教学《有余数的除法》的第3课时“列竖式计算有余数的除法”时，教师可以借助摆小棒、画图、数线图等形式将算理展示出来，让学生对有余数除法的算理有形象直观的认识，从而更加透彻地理解算理，并向算法过渡。
　　3. 以形助数，提高解题能力。
　　在问题解决的过程中，题目的表述是较为抽象的，往往不利于小学生的理解。数形结合思想可以通过“数”表征与“形”表征的相互转化来实现问题的解决，能为学生问题解决提供新的思路。
　　教师在教学《有余数的除法》第5课时的过程中可以应用数形结合思想，引导学生以形助数，用画长条图的形式表示题目中的信息与问题，让学生明白有余数除法的解决问题可能存在两种情形“商加一即进一法”、“商不变即去尾法”，而且其代表的情形是完全不同的，进而培养学生分析问题和解决问题的能力，加深学生对同类问题的本质理解。 
　　（二）以数解形
　　在《有余数的除法》例6的课堂教学中采用“三环六步”的教学路径和策略，把“以数解形”的设计理念和行为落到实处。鼓励学生自主“以数解形”解题探索，启发学生举一反三。第一环：多维视角，构造数式。第1步，解读教材原图，发现规律“黄红红3个为一组重复排列”；第2步，构造数式，3+3+3+3+3+1=16，16÷3=5……1，……。第二环：数形互表，解释数式本质。第3步，聚焦数式16÷3=5……1。第4步，表征数式本质，16÷3=5（组）……1（个），第16个图形是第6组的第1个，即黄色。第三环：类比关联，拓展数式模型。第5步，由此及彼，关联新数式，20÷3=6……2，27÷3=9，16÷6=2……4。第6步，图像变形，表征新数式。自己动手画出图形，表征以上3个数式，从而做到概括总结、课堂延伸。
　　参考文献：
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　　[5]张艳红.数形结合思想在小学数学教学中的应用[D].山东：山东师范大学，2016.12
　　[6]吕立峰.以数解形，让数形结合思想更加丰满——以人教版教材六年级上册《数与形》为例[J]，教学月刊·小学版，2022.10