【正文】  【摘 要】 分类思想是初中数学中一种非常重要而且常见的思想。在近几年的中考考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。因此，从分类讨论的不同类型和考点题型入手，阐述在初中数学解题中运用分类讨论思想的方法。
　　【关键词】 初中数学；分类讨论；新课程

　　分类讨论思想是初中数学中一种非常重要而且常见的思想。在每年的中考试题中，常常利用分类讨论来加大试卷的区分度。而且分类讨论思想与新课程改革中提出的培养学生的创新精神与探索精神是一致的。因此使学生养成分类讨论思想，并掌握一定的分类技巧以及常见题型的分类方法，形成一定的分类体系非常必要。分类的四大原则：（1）同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。（2）互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。（3）相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。（4）层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。
　　解答分类讨论问题的步骤是：
　　首先，确定讨论对象以及所讨论的对象的全体范围；
　　其次，确定分类标准，正确进行合理分类，再对所分情况进行求解，获取阶段性结果；
　　最后，进行归纳小结，综合得出结论。
　　现在，把初中数学教学中分类讨论的类型归纳如下：
　　一、题中分类定义的概念和性质而引起的分类讨论 
　　例 若a，b为非零实数，代数式■+■+■的所有可能的值有（  ）
　　A.2个   B.3个
  C.4个   D.无数个
　　解析：根据题意，按a，b的符号，分4种情况讨论；每种情况下，利用绝对值的性质去掉绝对值，求出代数式的值；然后综合几个结果，得出结论。
　　解：根据题意，按a，b的符号，分4种情况讨论：
　　①a>0，b>0时，原式=■+■+■=1＋1＋1=3
　　②a>0，b<0时，原式=■+■+■=1－1－1=－1
　　③a<0，b>0时，原式=■+■+■=-1＋1－1=－1
　　④a<0，b<0时，原式=■+■+■=－1－1＋1=－1
　　综上所述，共两种结果，故选A。
　　二、由问题中参数的不同取值引起的分类讨论
　　例：已知关于x的方程（k2－1）x2－2（k＋1）x＋1＝0有实数根，求k的取值范围。
　　解析：因为k出现在二次项系数，所以当k2－1=0时，－2（k＋1）≠0此方程为一元一次方程，一定有实数根。当k2－1≠0时，此方程是一元二次方程，方程有实数根，根据根的判别式△≥0求k的取值范围。因此分两种情况进行讨论。
　　解：（1）k2-1=0，－2（k＋1）≠0即k=1时，为一元一次方程，一定有实数根；
　　（2）k2－1≠0，即k≠±1时，此方程为一元二次方程
　　△=[-2（k+1）]2-4（k2-1）≥0，
　　解得k≥-1．
　　综上可得k>-1．
　　三、由于问题中不确定的图形位置或形状，不确定对应关系的全等或相似引起的分类讨论
　　例在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是
（  ）
　　A.5  B.10  C.5或4  D.10或8
　　解析：这个三角形的外接圆直径是斜边长有两种情况：斜边是BC，或斜边是AC。
　　解：根据题意得
　　（1）斜边是BC，即外接圆直径是8；
　　（2）斜边是AC，即外接圆直径是■=10.
　　？综上，三角形的外接圆直径为8和10。故选D。
　　四、如何避免分类讨论
　　例如：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且a、b是方程？x2-10x+18=0的两个根，P是斜边AB上的一点，过P作BC、AC的平行线，分别交AC、BC于D、E，设AP=x，矩形CDPE的面积为S，用含x的代数式表示S。
　　简解：由题意得a+b=10，ab=18，∴a2+b2+2ab=100，
　　又∵a2+b2=c2，可解得c=8，即AB=8，
　　又由题意DP/BC=AP/AB，PE/AC=PB/AB，
　　即DP/a=x/8，PE/b=（8-x）/8，
　　∴S=（8abx-abx2）/64=（-9/32）x2+（9/4）x。
　　很多学生根据方程x2-10x+18=0求出了a、b的长，再对a、b作分类讨论，从而给解题带来了相当大的麻烦，结果反而弄错了，像这种可以整体处理的问题，不必作讨论。
　　初中数学中的分类讨论是一种重要的数学思想，有利于增强学生思维的条理性、缜密性和科学性。教师在教学中结合教材，创设情景，强化需要区分情况进行讨论的问题，启发学生积极思维，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。通过教师在教学中着重渗透数学思想方法的学习，相信会使学生在认知层次上得到极大的提高，收到事半功倍的效果。